Question

Sprawdź, czy podana równość jest tożsamością trygonometryczną.
tgx*(1+ctg²x)/1+tg²x=ctgx

Answer 1

Tgx*(1+ctg²x)/(1+tg²x)=
tgx(1+1/tg²x)/(1+tg²x) bo ctgx=1/tgx ->ctg²x=1/tg²x
tgx(tg²x/tg²x+1/tg²x)/(1+tg²x) bo 1=tg²x/tg²x
tgx({tg²x+1}/tg²x)/(1+tg²x) - do wspólnego mianownika
((tg²x+1)/tgx)/(1+tg²x) - tgx skracamy z tg²x
(tg²x+1)/tgx*(1/(1+tg²x))=
1/tgx=ctgx
czyli jest tożsamością trygonometryczną

Answer 2

Tgx*(1 + ctg²x)/(1 + tg²x) = ctgx

L = tgx*(1 + ctg²x)/(1 + tg²x) = tgx*(1 + 1/tg²x)/(1 + tg²x) = (tgx + 1/tgx)/(1 + tg²x) = [(tg²x + 1)/tgx]/(1 + tg²x) = 1/tgx = ctgx = P

Answer 3

Tgx*(1+ctg²x)/(1+tg²x)=ctgx
L=tgx*(1+ctg²x)/1+tg²x
P=ctgx
L=tgx*(1+ctg²x)/(1+tg²x)=
[(sinx/cosx)*(1+ctg²x)]/(cos²x/cos²x + sin²x/cos²x)=
[(sinx/cosx)*(1+cos²x/sin²x)]/[(cos²x+sin²x)/cos²x]=
[(sinx/cosx)*((sin²x+cos²x)/sin²x)/[1/cos²x]=
[(1/cosx)*(1/sinx)]/[1/cos²x]=
[1/(cosxsinx)]*[cos²x/1]=cos²x/(cosxsinx)=cosx/sinx= ctgx
Zachodzi ta równość, więc jest to tożsamość trygonometryczna :)