Question

1.Sprawdź czy podany ciąg jest geometryczny an=5*3^n

2.Składamy do banku na rok 10 000 zł na oprocentowanie 3% miesięcznie wg reguły procentu składanego. Jaką kwotę będziemy dopisywać po upływie roku?

Answer 1

1.

Jest to ciag geometryczny gdyz potęgowanie to inaczej mnozenie 2 takich samych liczb a wiec nie wazne ile razy bedziemy potegowac liczbe 3 ale zawsze nasze q(liczba przez ktora mnozymy wyraz aby powstal ciag geometryczny)pozostaje NIEZMIENNA!

 

q=a^n+1/a^n=3^n+1/3^n=3^n*3/3*n=3

 

2.

P-kapital po roku

po-kapital poczatkowy

n-ilosc kapitalizacji

m-oprocentowanie

 

P=Po* (1+m/n)¹² [potegujemy do potegi n; n-liczba miesiecy, w tym przypadku to 12]

P=10 000*(1+0,03/12)¹²

P=10304,16 zł

Answer 2

 1)     Sprawdź czy podany ciąg jest geometryczny an=5*3^n

 

budujemy ciąg:

 

a       = 5 · 3 ^ n+1    i sprawdzamy iloraz q

   n+1

 

 

      a

         n+1          5 · 3 ^ n+1       5 · 3 ^ n · 3¹

q = ---------  =   --------------  =  ----------------  =   3¹  =  3     jest to ciąg geometryczny

      a                   5 · 3 ^ n            5 · 3 ^ n

        n

 

Odp. Ponieważ iloraz q=3, ciąg  an=5·3^n jest geometryczny

 

 

2) Składamy do banku na rok 10 000 zł na oprocentowanie 3% miesięcznie wg reguły procentu składanego. Jaką kwotę będziemy dopisywać po upływie roku?

 

V - wartość przyszła

V₀ - wartość bieżąca

n - liczba lat

m - liczba kapitalizacji w roku

r -  nominalna stopa procentowa (przy czym jeżeli np. r=3%, to przed wstawieniem do wzoru zamieniamy procent na ułamek dziesiętny tzn. 3%=0,03 )

 

Kapitalizacja następuje częściej niż raz w roku, czyli m > 1

 

V = V₀ · ( 1 + r/m ) ^ m·n    ( zapis ^ oznacza do potęgi )

 

V = 10 000 zł  · ( 1 +0,03/12 ) ¹ · ¹² = 10 000 zł  · ( 1,0025 )¹² = 10 000 zł  · 1,0304159 =

10 304,159 zł

 

Odp. po upływie roku dopiszemy kwotę: 304,16 zł do naszych 10 000zł.