Question

Wykaż, że:
1. sinα × cosβ= ½[sin(α+β)+sin(α-β)]
2. cosα × sinβ= ½[sin(α+β)-sin(α-β)]

Jeżeli:
tgα + ctgα = 2 <=> tg⁴α + ctg⁴α = 2
1+sin8⁰-cos8⁰/1+sin8⁰+cos8⁰= tg4⁰ (gdzie ⁰-są stopnie ;))

Answer 1

Wykaż, że:
1. sinα * cosβ = ½[sin(α + β) + sin(α - β)]

korzystamy ze wzorów na sin sumy i różnicy kątów:
P = ½[sin(α + β) + sin(α - β)] = ½[sinα*cosβ + sinβ*cosα + sinα*cosβ - sinβ*cosα] = ½[2sinα*cosβ] = sinα*cosβ = L

2. cosα * sinβ= ½[sin(α + β) - sin(α - β)]

korzystamy ze wzorów na sin sumy i różnicy kątów:
P = ½[sin(α + β) - sin(α - β)] = ½[sinα*cosβ + sinβ*cosα - sinα*cosβ + sinβ*cosα] = ½[2sinβ*cosα] = sinα*cosβ = L

Jeżeli:
tgα + ctgα = 2 <=> tg⁴α + ctg⁴α = 2

korzystamy ze wzoru na zależność pomiędzy tg i ctg oraz wzoru na kwadrat sumy (skróconego mnożenia):
tg⁴α + ctg⁴α = (tg²α + ctg²α)² - 2tg²α*ctg²α = ((tgα + ctgα)² - 2tgα*ctgα)² - 2tg²α*ctg²α = ((tgα + ctgα)² - 2tgα*(1/tgα))² - 2tg²α*(1/tg²α) = ((tgα + ctgα)² - 2)² - 2 = (2² - 2)² - 2 = 2² - 2 = 2

(1 + sin8° - cos8°)/(1 + sin8°+ cos8°) = tg4°

korzystamy ze wzorów na si i cos podwojonych kątów:
(1 + sin8° - cos8°)/(1 + sin8°+ cos8°) = (1 + 2sin4°*cos4° + 2sin²4° - 1)/(1 + 2sin4°*cos4°+ 2cos₂4° - 1) = 2(sin4°*cos4° + sin²4°)/2(sin4°*cos4°+ cos²4°) = sin4°(cos4° + sin4°)/cos4°(sin4°+ cos4°) = sin4°/cos4° = tg4°

jak masz pytania to pisz na pw