Question

1.Rozwiaz układ równan:
x2+x(y−4)=−2
y2+y(x−4)=−2
2.Udowodnij, ze nie istnieja dodatnie liczby nieparzyste a i b spełniajace równanie

a2−b3 =4.

Daje max za choć jedno dobrze rozwiązane zadanie.

Answer 1

x²+x(y−4)=−2

y²+y(x−4)=−2

 

x² + xy - 4x +2 = 0

y² + xy - 4y + 2 = 0

 

sumujemy stronami:

x² + 2xy + y² - 4x - 4y + 4 = 0

(x+y)² - 4(x+y) + 4 = 0

wstawmy t = x+y, mamy:

t² - 4t + 4 = 0

(t - 2)² = 0

t - 2 = 0

t = 2

czyli

x + y = 2 oraz y = 2 - x

 

Teraz  do

x² + xy - 4x +2 = 0 wstawiamy y = 2 - x

x² + x(2-x) - 4x +2 = 0

x² - x² + 2x - 4x + 2 = 0

-2x + 2 = 0

2x = 2

x = 1

y = 2 - 1 = 1

 

Jedyne rozwiązanie to x=y=1