Sprawdzam czy r=-1 jest pierwiastkiem wilomianu (pierwiastkami wielomianu są często dzielniki wyrazu wolnego):
W(-1)=(-1)³-5*(-1)-4
W(-1)=-1+5-4
W(-1)=0
r=-1 jest pierwiastkiem wielomianu, zatem wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-r:
(x³-5x-4):(x+1)=x²-x-4
-x³-x²
-------
-x²-5x-4
x²+x-4
------------
-4x-4
4x+4
----------
0
Wielomian W(x) można zapisać:
W(x)=x³-5x-4
W(x)=(x+1)(x²-x-4)
W(x)=(x+1)[x - (1-√17)/2][x + (1+√17)/2]
---
x²-x-4=0
Δ=b²-4ac=(-1)²-4*1*(-4)=1+16=17
√Δ=√17
x₁=[-b-√Δ]/2a=[1-√17]/2
x₂=[-b+√Δ]/2a=[1+√17]/2
================================================
zad 2
x³+x²-x-1=0
x²(x+1)-(x+1)=0
(x²-1)(x+1)=0
(x-1)(x+1)(x+1)=0
(x-1)(x+1)²=0
x-1=0 lub (x+1)²=0
x=1 x=-1
[x=-1 - pierwiastek dwukrotny]
[Wzór: a²-b²=(a-b)(a+b) - kwadrat różnicy]
================================================
zad 3
Rozwiązanie nierówności wielomianowej polega na podaniu przedziału w którym ta nierówność zachodzi (w zależności od znaku nierówności). Aby odnaleźć te przedziały w pierwszym kroku należy znaleźć pierwiastki wielomianu, a następnie określić ich krotność, bo w zależności od krotności wykres funkcji przechodzi lub nie przechodzi przez oś Ox: -- pierwiastki prarzystej krotności - wykres "odbija się" od osi Ox -- pierwiastki nieparzystej krotności - wykres przechodzi przez oś Ox. [Krotność zależy od potęgi]
Następnie w zależności od wyrazu an, rysujemy "wykres" funkcji:
Do 1 i 3 rysunki w załączniku
1.
W(x)=x^3-5x-4
p=1,2,4,-1,-2,-4
q=1,-1
p/q= 1,2,4,-1,-2,-4
W(1)=1-5-4 <0
W(-1)=-1+5-4 = 0
Jeden z czynników to (-1)
x^2-x-4=0
Δ=b^2-4ac
Δ=(-1)^2-4*1*(-4)
Δ=1+16
Δ=17
√Δ=√17
x=1/2- √17 ∨ x=1/2+ √17
W(x)=(x- 1/2+ √17 )(x-1/2- √17)(x+1)
2.
x^3+x^2-x-1=0
x^2(x+1)-(x+1)=0
(x^2-1)(x+1)=0
(x-1)(x+1)(x+1)=0
(x-1)(x+1)^2=0
3.
x∈(-∞;-2)suma(1;3)suma(3;∞)\
zad 1
W(x)=x³-5x-4
Sprawdzam czy r=-1 jest pierwiastkiem wilomianu (pierwiastkami wielomianu są często dzielniki wyrazu wolnego):
W(-1)=(-1)³-5*(-1)-4
W(-1)=-1+5-4
W(-1)=0
r=-1 jest pierwiastkiem wielomianu, zatem wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-r:
(x³-5x-4):(x+1)=x²-x-4
-x³-x²
-------
-x²-5x-4
x²+x-4
------------
-4x-4
4x+4
----------
0
Wielomian W(x) można zapisać:
W(x)=x³-5x-4
W(x)=(x+1)(x²-x-4)
W(x)=(x+1)[x - (1-√17)/2][x + (1+√17)/2]
---
x²-x-4=0
Δ=b²-4ac=(-1)²-4*1*(-4)=1+16=17
√Δ=√17
x₁=[-b-√Δ]/2a=[1-√17]/2
x₂=[-b+√Δ]/2a=[1+√17]/2
================================================
zad 2
x³+x²-x-1=0
x²(x+1)-(x+1)=0
(x²-1)(x+1)=0
(x-1)(x+1)(x+1)=0
(x-1)(x+1)²=0
x-1=0 lub (x+1)²=0
x=1 x=-1
[x=-1 - pierwiastek dwukrotny]
[Wzór: a²-b²=(a-b)(a+b) - kwadrat różnicy]
================================================
zad 3
Rozwiązanie nierówności wielomianowej polega na podaniu przedziału w którym ta nierówność zachodzi (w zależności od znaku nierówności).
Aby odnaleźć te przedziały w pierwszym kroku należy znaleźć pierwiastki wielomianu, a następnie określić ich krotność, bo w zależności od krotności wykres funkcji przechodzi lub nie przechodzi przez oś Ox:
-- pierwiastki prarzystej krotności - wykres "odbija się" od osi Ox
-- pierwiastki nieparzystej krotności - wykres przechodzi przez oś Ox.
[Krotność zależy od potęgi]
Następnie w zależności od wyrazu an, rysujemy "wykres" funkcji:
-- an>0 - zaczynam od prawej strony od góry,
-- an<0 - zaczynamy z prawej strony od dołu.
--------------------------------------------------------------------------------------------------
(x-1)¹³(x+2)(3-x)²⁰<0
Pierwiastki wielomianu:
(x-1)¹³=0 lub x+2=0 lub (3-x)²⁰=0
x=1 x=-2 x=3
Krotność pierwiastków:
x=1 - pierwiastek trzynastokrotny
x=-2 - pierwiastek jednokrotny
x=3 - pierwiastek dwudziestokrtotny
Określienie znaku an:
x*x*(-x)=-x³ - an<0
Odpowiedź: x∈(-∞, -2)u(1, 3)u(3, ∞)