Question

1.Punkty A (1,2) , C (-3,-3) są kolejnymi wierzchołkami trójkąta rownobocznego. Oblicz
a) długość boku trójkąta, wysokość oraz pole
b) długość promienia okręgu opisanego oraz długości tego okręgu

c)długość promienia koła wpisanego oraz pole tego koła

2.Punkty B(2,-3) , CC (-3,-3) są kolejnymi wierzcholkami kwadratu . oblicz
a) dlugosc boku ,przekatnej i pole
b)dlugosc promienia okregu wpisanego oraz dlugosc tego okregu
c) dlugosc promienia kola opisanego tego kola i pole
3. Punkty A (1,2) , B (2,-3) , C (-3,-3) sa kolejnymi wierzcholkami trojkata ABC. OBLIcz:
a) obwod trojkata ABC
b)rownanie prostej AB
c)wspolrzedne srodka odcinka AB
d) rownanie symetralnej odcinka AB
e)rownanie prostej zawierajacej wysokosc opuszczona na bok AB

Answer 1

z.1

A = (1;2) , C = (-3; -3)

a)

I AC I ^2 = [-3 -1]^2 + (-3 -2)^2 = (-4)^2 + (-5)^2 = 16 + 25 = 41

zatem długość boku tego trójkąta

a = p(41)

========

wysokość

h = [a p(3)]/2 = [ p(41)*p(3)]/2 = p(123)/2

=======================================

pole

P = 0,5 a*h = 0,5*p(41) * p(123)/2 = 0,25 * p(41*123) = 0,25*p(5043)

P = 0,25* p(3*1681) = 0,25*41*p(3) = 10,25*p(3)

P = 10,25 *p(3)

===============

p(3) <-- pierwoastek kwadratowy z 3

p(41) <-- pierwiastek kwadratowy z 41

---------------------------------------------------------------------------------

b) r1  - długość promienia okręgu opisanego

r1 = (2/3)h = (2/3)*p(123)/2 = (1/3)*p(123)

L1 - długość okręgu opisanego

L1 = 2 pi r1 = 2 pi *(1/3)*p(123) = (2/3) pi * p(123)

============================================

c) r2 - długość promienia koła wpisanego

r2 = (1/3) h = (1/3)*p(123)/2 = (1/6)*p(123)

Pk  - pole kola wpisanego

Pk = pi (r2)^2 = pi *[ (1/6)*p(123)]^2 = pi *(1/36)*123 = pi*(123/36)

Pk = pi * (41/12)

====================

==========================================================

z.2

 

B = (2; -3), C = (-3; -3)

I BC I^2 = (-3 -2)^2 + (-3 -(-3))^2 = (-5)^2 + 0^2 = 25

zatem długość bolu kwadratu

a = p(25) = 5

=============

długośc przekątnej tego kwadratu

d = a p(2) = 5 p(2)

==================

pole kwadratu

P = a^2 = 5^2 = 25

================

b)

r1 - długość promienia okręgu wpisanego

r1 = (1/2)*a = (1/2)* 5 = 2,5

długośc okręgu wpisanego

L1 = 2 pi *r1 = 2 pi *2,5 = 5 pi

====================================

c)

r2 - długość promienia koła opisanego

r2 = 0,5 *d = 0,5 *5 *p(2) = 2,5 *p(2)

Pk - pole koła opisanego

Pk = pi *(r2)^2 = pi * [ 2,5*p(2)]^2 = pi *6,25*2 = 12,5 *pi

=========================================================

 

z.3

A = (1;2), B = (2; -3) , C = (-3;-3)

a)

I AB I^2 = (2 -1)^2 +(-3 -2)^2 = 1^2 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26

zatem I AB I = p(26)

-------------------------

I BC I^2 = (-3 -2)^2 + (-3 -(-3))^2 = (-5)^2 + 0^2 = 25

zatem I BC I = p(25) = 5

------------------------------

I AC I ^2 = (-3-1)^2 + (-3 -2)^2 = (-4)^2 + (-5)^2 = 16 + 25 = 41

zatem I AC I = p(41)

------------------------

Obwód trójkąta ABC

L = p(26) + 5 + p(41) = 5 + p(26) + p(41)

======================================

b)

Prosta AB

y = a x + b

zatem

2 = 1*a + b

-3 = 2*a + b

------------------- odejmujemy stronami

2 - (-3) = a - 2a

5 = - a

a = -5

--------

b = 2 - a = 2 -(-5) = 2 + 5 = 7

--------------------------------

y = - 5 x + 7

===============

c)

środek odcinka AB

S = [ (1 +2)/2 ; (2 +(-3))/2] = ( 3/2 ; -1/2 )

========================================

d)

Równanie symetralnej odcinka AB

Jest to prosta prostopadła do pr AB przechodząca przez punkt S

Mamy

-5*a1 = -1  ---> a1 = 1/5

zatem

y = (-1/5) x + b  oraz  S = ( 3/2 ; -1/2)

-1/2 = (-1/5)*(3/2) + b

-1/2 = (-3/10) + b

b = (-1/2) - (-3/10) = -5/10 + 3/10 = -2/10 = - 1/5

zatem

y = (-1/5) x - 1/5

=================

e) równanie prostej zawierającej wysokośc opuszczoną na bok AB

Jest to prosta prostopadła do pr AB przechodząca przez punkt C = (-3; -3)

Mamy więc

y = (-1/5) x + b1

-3 = (-1/5) *(-3) + b1

-3 = 3/5 + b1

b1 = -3 - 3/5

b1 = - 18/5

--------------

y = (-1/5) x - 18/5

============================================================