Question

1.Prosta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku S i promieniu 5.
a) jaką długość ma odcinek AS, gdy |AB| = 10 ?
b) jaką długość ma odcinek AB,gdy |AS| = 10 ?

2.W trójkąt o kątach 40 stopni ,60 stopni i 80 stopni wpisano okrąg .
a)ze środka okręgu poprowadzono promienie do punktów styczności. Oblicz miary kątów utworzonych przez te promienie .
b) punkty styczności są wierzchołkami pewnego trójkąta . Oblicz miary kątów tego trójkąta .


z góry dzięki.;)

Answer 1

1.
Promień okręgu (BS) poprowadzony do punktu (B) styczności okręgu z prostą  zawsze tworzy kąt prosty z tą prostą (AB).
|∡ABS| = 90°

Z tw. Pitagorasa:  |AB|² + |BS|² = |AS|²

a)
     |BS| = 5
     |AB| = 10
     |AS| = ?

Czyli:
           10² + 5² = |AS|²
            |AS|² = 100 + 25
           |AS|² = 125
             |AS| = √125 = √(25·5) = 5√5

b)
     |AS| = 10
     |BS| = 5
     |AB| = ?

     |AB|² + 5² = 10²
     |AB|² = 100 - 25
     |AB|² = 75
   |AB| = √75 = √(25·3) = 5√3                

2.
a)
Promienie poprowadzone ze środka okręgu wpisanego do punktów styczności z bokami, tworzą z tymi bokami kąty proste.

|∡DCS| = |∡SCF| = |∡FBS| = |∡SBE| = |∡EAS| = |∡SAD| = 90° 

|∡ADC| = 60°        |∡ASC| =?
|∡ACB| = 80°        |∡ASB| = ?
|∡BFC| = 40°        |∡BSC| =?

Suma kątów w dowolnym czworokącie wynosi 360°
Stąd:
           |∡ASC| = 360° - 60° - 90° - 90° = 120°
           |∡ASB| = 360° - 80° - 90° - 90° = 100°
           |∡BSC| = 360° - 40° - 90° - 90° = 140°

b)
         |∡ASC| = 120°
         |∡ASB| = 100°
         |∡BSC| = 140°
|∡ABC| = ?
|∡BCA| = ?
|∡CAB| = ?

Odcinki AS, BS i CS są promieniami okręgu, więc mają taką samą długość:
|AS| = |BS| = |CS|
Czyli trójkąty: ΔASB, ΔBSC i ΔCSA są trójkątami równoramiennymi.
Suma kątów w trójkącie wynosi 180°, a w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakową miarę.
 
|∡ABS| = |∡SAB|
Czyli:
           2 |∡ABS| = 180° -  |∡ASB|
           2 |∡ABS| = 180° - 100°
            2 |∡ABS| = 80°    /:2
             |∡ABS| = 40°
   i          |∡SAB| = 40°

|∡ACS| = |∡SAC|
Czyli:
           2 |∡ACS| = 180° -  |∡ASC|
           2 |∡ACS| = 180° - 120°
            2 |∡ACS| = 60°    /:2
             |∡ACS| = 30°
 i          |∡SAC| = 30°

|∡BCS| = |∡SBC|
Czyli:
           2 |∡BCS| = 180° -  |∡BSC|
           2 |∡BCS| = 180° - 140°
            2 |∡BCS| = 40°    /:2
             |∡BCS| = 20° 
   i         |∡SBC| = 20°

Ostatecznie otrzymujemy:

|∡ABC| = |∡ABS| + |∡SBC| = 40° + 20° = 60°
|∡BCA| = |∡BCS| + |∡ACS| = 20° + 30° = 50°
|∡CAB| = |∡SAC| + |∡SAB| = 30° + 40° = 70°