Question

1.Odcinek o końcach A(3,-2) i B(7,-10) jest przeciwprostokątnną trójkąta prostokątnego.Podaj współrzędne środka okręgu opisanego na tym trójkącie i oblicz promień tego okręgu.

2.Punkty A(-1,4) i B(2,1)należą do okręgu o środku leżącym na prostej y=-x+2.Wyznacz współrzędne środka tego okręgu.

3.Punkt S jest środkiem odcinka AB.Oblicz a i b:

a)A(-1,3) B(5,-7) S(A,B)

b)A(3a,2) B(a,2b) S(b,a)

4.Wyznacz równania osi symetrii odcinka AB:

b)A(-2,-3) B(0,3)

c)A(-2,-10) B(4,8)

Answer 1

zad. 1. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnica okręgu opisanego na nim.
Więc środek przeciwrostokątnej będzie środkiem okręgu opisanego na nim, a połowa przeciprostokątnej - jego promieniem.

środek:
Xs= (Xa+Xb) /2
Ys= (Ya+Yb) /2
Xs=(3+7)/2 = 5
Ys=(-2-10)/2 = -6

Promień - połowa długości przeciprostokątnej
r= pierwiastek((Xb-Xa)^2 + (Yb-Ya)^2)/2

r=pierw((7-3)^2+(-10 + 2)^2)/2 = pierw(16+64)/2= pierw(80)/2= (4*pierw(5))/2 = 2 *pierw(5)

zad. 2.
Współrzędne środka:
S(x, -x+2)
Odległość środka do dowolnego punktu okręgu jest jednakowa, więc długości odcinków AS oraz BS są równe.

Długość do kwadratu odcinka  AS:    AS^2 = (Xs-Xa)^2 + (Ys-Ya)^2
Długość do kwadratu odcinka  BS:    BS^2 = (Xs-Xb)^2 + (Ys-Yb)^2

Ponieważ długości tych odcinów są równe, to i kwadraty tych długości są równe
AS^2=BS^2

(x+1)^2+(-x+2-4)^2 = (x-2)^2 + (-x+2-1)^2
(x+1)^2 + (-x-2)^2 = (x-2)^2 + (1-x)^2
x^2+2x+1+x^2+4x+4= x^2-4x +4 +x^2-2x+1

6x +5 = =-6x + 5
12x= 0
x = 0
y = -x+2 = -0 +2 = 2
Odp.
Współrzędne środka okręgu S(0,2)

zad. 3.
środek:
Xs= (Xa+Xb) /2
Ys= (Ya+Yb) /2

a) A(-1, 3) B(5,-7)
Xs=(-1+5) / 2 = 2
Ys=(3-7)/2 = -2

S(2,-2)

b)
Sx= b = (3a +a)/2 = 2a
Sy = a = (2+2b)/2 = 1+b

Mamy układ równań:
b = 2a
a = 1+b

wstawiamy równanie 1 do 2
a= 1 + 2a
a=-1
b= 2a = -2

Odp S(-2, -1)


zad. 4
Dla odcinka są dwie osie symetrii:
1. Prosta na której położony jest odcinek
2. Prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez śrowdek.
Więc
b)  A(-2, -3)   B(0, 3)
Środek odcinka S((-2+0)/2, (-3+3)/2)  => S(-1, 0)
oś symetrii 1:
do wzoru na prostą: y=ax+b podstawiamy współrzędne punktów A i B
-3=-2a+b
3=b
czyli 2a=b+3 => 2a = 6 => a = 3
więc mamy prostą: y= 3x+3    - jest to nasza pierwsza oś symetrii

oś symetrii 2:
wzór na prostą prostopadłą do prostej y = ax +b:
y = (-1/a)*x +b2

Szukamy prostej prostopadłej do: y= 3x+3 przechodzącej przez środek: S(-1, 0)
więc:
y = -1/3*x +b2
szukamy b2 podstawiając współrzędna środka:

0= -1/3*(-1) +b2
b2 = -1/3
Druga oś symetrii:
y=(-1/3)*x -(1/3)

ODP:
Osie symetrii:
y= 3x+3
y=(-1/3)*x -(1/3)


c)
jedziemy j.w. ;)
Sx=(-2+4)/2 = 1
Sy=(-10+8)/2 = -1

S(1,-1)

Oś 1:
układ równań
-10 = -2a + b
8 = 4a +b

a=3
b=-4

wyszło y= 3x - 4

Druga symetryczna:
y=(-1/3)x +b2

-1=(-1/3)*1+b2
b2 = -1 + 1/3    = -2/3

y=(-1/3)x - 2/3

Odp:
osie symetrii :
1. y=(-1/3)x - 2/3
2. y= 3x - 4