1.Oblicz wyrazy a6 i a9 ciągu geometrycznego (an), jeśli a2 = 10 i a4 = 40.... Question from @4d3k

Roma

I sposób

Własność ciągu geometrycznego:

Każdy wyraz ciągu geometrycznego, prócz pierwszego (oraz ostatniego, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich, czyli prawdziwy jest wzór:

$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$

$a_2 = 10 \ i \ a_4 = 40$

Zatem:

$a_3^2= a_2 \cdot a_4 \\\ a_3^2 = 10 \cdot 40 \\\ a_3^2 = 400 \\\ a_3 = \sqrt{400} = 20 \ lub \ a_3 = - \sqrt{400} = - 20$

Def. ciągu geometrycznego:

Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, którego kolejny wyraz jest iloczynem wyrazu poprzedniego przez pewną stałą q nazywaną ilorazem.

$a_3 = a_2 \cdot q \\\\ \underline{a_3= 20} \\\\ 20 = 10 \cdot q \ /:10 \\\ q = 2 \\\\ a_2 = a_1 \cdot q \\\ 10 = a_1 \cdot 2 \ /:2 \\\ a_1= 5 \\\\ \underline{a_3 = - 20} \\\\ - 20 = 10 \cdot q \ /:10 \\\ q = - 2 \\\\ a_2 = a_1 \cdot q \\\ 10 = a_1 \cdot (- 2) \ /:(- 2) \\\ a_1 = - 5$

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

$\underline{a_1 = 5 \ i \ q = 2} \\\ a_6= 5 \cdot 2^{6-1} = 5\cdot 2^5 = 5 \cdot 32 = 160 \\\ a_9 = 5\cdot 2^{9-1} = 5 \cdot 2^8 = 5 \cdot 256 = 1280 \\\\ \underline{a_1 = - 5 \ i \ q = - 2} \\\ a_6 = - 5 \cdot (-2)^{6-1} = - 5 \cdot (- 2)^5= - 5 \cdot (-32) = 160 \\\ a_9= - 5 \cdot (-2)^{9-1}= - 5 \cdot (- 2)^8= - 5 \cdot 256 = - 1280$

Odp. a₆ = 160 i a₉ = 1280 lub a₆ = 160 i a₉ = - 1280.

II sposób

$a_2 = 10 \ i \ a_4 = 40$

Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

otrzymujemy:

$a_2 = 10 \\\ a_2 = a_1 \cdot q^{2-1} =a_1 \cdot q \\\ a_1 \cdot q = 10 \\\\ a_4 = 40 \\\ a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} =a_1 \cdot q^3 \\\ a_1 \cdot q^3 = 40$

Stąd:

$\left \{ {{a_1 \cdot q = 10 \ / : q} \atop {a_1 \cdot q^3 = 40}} \right. \\\\ \left \{ {{a_1= \frac{10}{q}} \atop {\frac{10}{q} \cdot q^3 = 40}} \right. \\\\ \left \{ {{a_1= \frac{10}{q}} \atop {10q^2 = 40 \ /:10}} \right. \\\\ \left \{ {{a_1= \frac{10}{q}} \atop {q^2 = 4}} \right. \\\\ \left \{ {{a_1= \frac{10}{q}} \atop {q = 2}} \right. \ lub \ \left \{ {{a_1= \frac{10}{q}} \atop {q =- 2}} \right.$

$\left \{ {{a_1= \frac{10}{2}} \atop {q = 2}} \right. \ lub \ \left \{ {{a_1= \frac{10}{-2}} \atop {q =- 2}} \right. \\\\ \left \{ {{a_1= 5} \atop {q = 2}} \right. \ lub \ \left \{ {{a_1= -5} \atop {q =- 2}} \right.$

Odp. a₆ = 160 i a₉ = 1280 lub a₆ = 160 i a₉ = - 1280.

2 votes Thanks 1

Kąt wpisany β jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy α Wyznacz miarę kąta 1/2α+1/3β jeśli: a) α=58° b) β=42°

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social