Question

1.Oblicz V i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wiedząc że długość przekątnej podstawy wynosi 12 pierwiastek 2 centrymetrów a kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy wynosi 30 stopni

2. Podstawa ostroslupa jest kwadrat którego przekątna ma długość 0.10 metra. KAżda krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objetosc tego ostrosłupa.

3. Podstawa ostrosłupa jest prostokąt którego pole wynosi 144 cm2, a stosunek boków tego prostokąta jest równy 4:9. każda krawędź boczna ostroslupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni. oblicz objetosc tego ostrosłupa

Answer 1

W podstawie kwadrat
d = 12√2 cm
1/2 d = 12√2/2 = 6√2cm
ze związków miarowych w tr. prostokątnym o kątach ostrych 30 i 60 stopni:
6√2 = x√3
x = 6√2/√3
x = 6*√2*√3/3
x = 2√6
x = H (H-wysokość ostrosłupa)
H = 2√6cm
obliczam a
d = a√2
d = 12√2
a = 12
V = 1/3*a²*H
V = 1/3*12²*2√6
V = 1/3*144*2√6
V = 48*2√6
V = 96√6 cm³

Pc = a²+4*1/2a*Hb
obliczam Hb
1/2a = 1/2*12 = 6
H = 2√6
z tw.Pitagorasa:
(1/2a)²+H² = Hb²
Hb² = (2√6)²+6²
Hb² = 24+36
Hb² = 60
Hb = √60
Hb = 2√15cm
Pc = a²+4*1/2a*Hb
Pc = 12²+2*12*2√15
Pc = 144+48√15
Pc = 48(3+√15) cm²


2.
d = 0,10m
d = 10cm
1/2 d = 10/2 = 5cm
ze związków miarowych w tr. prostokątnym o kątach ostrych 30 i 60 stopni:
H = 5√3 cm

obliczam a
d = a√2
d = 10
a = 10/√2
a = 5√2 cm
V = 1/3*a²*H
V = 1/3*(5√2)²*5√3
V = 1/3*25*2*5√3
V = 50*5√3/3
V = 250√3 /3 cm³

Pc = a²+4*1/2a*Hb
obliczam Hb
1/2a = 1/2*5√2 = 5√2/2
H = 5√3
z tw.Pitagorasa:
(1/2a)²+H² = Hb²
Hb² = (5√3)²+(5√2/2)²
Hb² = 25*3+50/4
Hb² = 75+50/4
Hb² = 350/4
Hb = √350/√4
Hb = 5√14/2
Pc = a²+4*1/2a*Hb
Pc = (5√2)²+2*5√2*5√14/2
Pc = 50+(50√28)/2
Pc = 50(1+1/2*√28) cm²

3.
Pp = 144cm²
Pp = ab = 144
a/b = 4/9
z układu równań:
ab = 144
9a = 4b

a = 144/b
9*144/b = 4b

a = 144/b
9*144/b = 4b

a = 144/b
4b² = 1296 |:4

a = 144/b
b² = 324

a = 144/b
b = √324 = 18

a = 144/18 = 8
b = 18

obliczam przekątną prostokąta z tw. Pitagorasa:
d² = a²+b²
d² = 8²+18²
d² = 64+324
d² = 388
d = √388 = 2√97

1/2 d = 2√97/2 = √97cm
ze związków miarowych w tr. prostokątnym o kątach ostrych 30 i 60 stopni:
H = √97*√3
H = √291
V = 1/3*a*b*H
V = 1/3*8*18*√291
V = 1/3*144*√291
V = 48√291cm³

Answer 2

1.Oblicz V i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wiedząc że długość przekątnej podstawy wynosi 12 pierwiastek 2 centrymetrów a kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy wynosi 30 stopni

d=12√2 cm→a=12 cm
h;1/2d i k (krawędź boczna) tworzą trójkąt prostokątny z kątam 30⁰
więc h=1/2k, zaś
1/2d=h√3
h=1/2d/√3
h=6√2/√3
h=6√6 /3
h=2√6 cm - wysokośc bryły

H²=h²+(1/2a)²
H²=(2√6)²+(6)²
H²=24+36
H²=60
H=2√15 cm

V=1/3*a²*h
Pc=a²+4*1/2*a*H

V=1/3*144*2√6
V=48*2√6
V=96√6 cm³

Pc=144+2*12*2√15
Pc=144+48√15
Pc=48(3+√15) cm²

2. Podstawa ostroslupa jest kwadrat którego przekątna ma długość 0.10 metra. KAżda krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objetosc tego ostrosłupa.

d=0,1m→a=d/√2→a=0,1/√2→a=0,1√2 /2
kAżda krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem 60 stopni. więc przekrojem jest trójkąt równoboczny, zatem:
k(krawędź boczna)=d
k=0,1 m
h=0,1√3 /2 m

H²=h²+(1/2a)²
H²=(0,1√3 /2)²+(1/2*0,1√2 /2)²
H²=0,03/4+(1/4*0,01*2 /4)
H²=0,03/4+0,01/ 8
H²=0,06/8+0,01/ 8
H²=0,07/8
H=√0,07/8
H=0,1/2* √7/2
H=0,1/2* √14 /2
H=0,1√14 /4

V=1/3*a²*h
V=1/3*(0,1√2 /2)²*0,1√3 /2
V=1/3*(0,01*2 /4)*0,1√3 /2
V=1/3*(0,02 /8)*√3
V=0,002√3/24
V=0,001√3 /12 m³

Pc=a²+4*1/2*a*H
Pc=0,01 /2 +2*0,1√2 /2*0,1√14 /4
Pc=0,01 /2 +0,1√2 *0,1√14 /4
Pc=0,01 /2 +0,01√28 /4
Pc=0,01 /2 +0,01*2√7 /4
Pc=0,01 /2 +0,01√7 /2
Pc=0,01 /2(1+√7) m²

3. Podstawa ostrosłupa jest prostokąt którego pole wynosi 144 cm2, a stosunek boków tego prostokąta jest równy 4:9. każda krawędź boczna ostroslupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni. oblicz objetosc tego ostrosłupa
4:9
Pp=144 cm²
każda krawędź boczna ostroslupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni, więc w przekroju mamy Δ równoboczny
czyli:
d=k
h=d√3 /2

4x*9x=144
36x²=144
x²=4
x=2
czyli a=8 cm
b=18 cm

d=√a²+b²
d=√64+324
d=√388
d=2√97 cm

h=2√97 *√3 /2
h=√97 *√3
h=√291 cm

V=1/3*Pp*h
V=48√291 cm³