1.Oblicz objętość i pole całkowite ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wiedzac , że krawedż podstawy.... Question from @Scinek178

December 2018 1 24 Report

1.Oblicz objętość i pole całkowite ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wiedzac , że krawedż podstawy ma dlugosc a=6cm , a krawedz boczna nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem alfa=60stopni
2. Olblicz objetosc i pole calkowite prosopadłościanu wiedząć , że krawedzie podstawy maja dlugosc 6 i 3 cm a przekatna prostopadłościanu nachylona jest do płaszcznyzny podstawy pod kątem alfa .
Proszę o wytłumaczenie z rysunkami . Jaki bok do jakiego itp .

unicorn05 1
a = 6, α = 60* (* oznacza stopni)
V = 1/3 Pp · H Pc = Pp + Pb

Ostrosłup prawidłowy ma trójkąt równoboczny jako podstawę i trzy jednakowe trójkąty jako ściany boczne, więc wzory będą wyglądały tak:
$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}\cdot H= \frac{a^2\cdot H \sqrt{3} }{12} \\ \\ P_c=\frac{a^2 \sqrt{3} }{4}+3 \cdot \frac{1}{2}\cdot a \cdot h=\frac{a^2 \sqrt{3} }{4}+\frac{3}{2}ah$

gdzie:
a - krawędź podstawy,
h - wysokość ściany bocznej,
H -wysokość ostrosłupa

Kąt (α) nachylenia krawędzi bocznej (b) do płaszczyzny podstawy to kąt między krawędzią boczną i wysokością podstawy
wysokość trójkąta równobocznego to $\frac{a \sqrt{3} }{2}$

Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w punkcie, który dzieli je w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka trójkąta)
W tym punkcie znajduje się spodek wysokości (H) ostrosłupa

Czyli wysokość ostrosłupa (H), 2/3 wysokości podstawy (2/3 · a√3/2) i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny.
Stąd:
   $tg \alpha = \frac{H}{\big{ \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} }} = \frac{H}{\big{ \frac{a \sqrt{3} }{3} }}= \frac{3H}{a \sqrt{3}} \quad \quad \wedge \quad \quad \alpha =60^o \ \ \ \Rightarrow \ \ \ tg \alpha = \sqrt{3}$

   $\frac{3H}{6 \sqrt{3}} = \sqrt{3} \\ \\ \frac{H}{2 \sqrt{3}} = \sqrt{3} \ \ \ /\cdot 2 \sqrt{3} \\ \\ H= \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} = 6$

Wysokość ostrosłupa (H), 1/3 wysokości podstawy (1/3 · a√3/2) i wysokość ściany bocznej (h) tworzą trójkąt prostokątny.
Czyli z Pitagorasa:
   $h^2 = H^2+( \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} )^2 \\ \\ h^2=6^2+( \frac{6 \sqrt{3} }{6})^2 \\ \\ h^2=36+3=39 \\ \\ h= \sqrt{39}$

$V =\frac{a^2\cdot H \sqrt{3} }{12} =\frac{6^2\cdot 6 \sqrt{3} }{12} =\frac{36\cdot \sqrt{3} }{2} =18 \sqrt{3} \\ \\ \\ P_c=\frac{a^2 \sqrt{3} }{4}+\frac{3}{2}ah=\frac{6^2 \sqrt{3} }{4}+\frac{3}{2} \cdot 6\cdot \sqrt{39} =9 \sqrt{3}+9\sqrt{39}$

2.
a = 3, b = 6, α = α
V = a·b·h Pc = 2ab + 2ah + 2bh
h = ?

Kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzną podstawy, to kąt (α) między przekątną prostopadłościanu (d) i przekątną podstawy (dp) tego prostopadłościanu.
Przekątne te tworzą z krawędzią boczną (h) trójkąt prostokątny, więc możemy skorzystać z tgα do obliczenia h {tgα to przyprostokątna przeciwległa do kąta α (h) do przyprostokątnej przyległej do kąta α (dp)}
długość przekątnej podstawy policzymy z tw. Pitagorasa.

$(d_p)^2=3^2+6^2 \\ \\ (d_p)^2= 9+36=45 \\ \\ d_p= \sqrt{45}=3 \sqrt{5} \\ \\ \\
tg \alpha = \frac{h}{d_p}\ \ \ /\cdot d_p \\ \\ h=d_p \cdot tg \alpha \\ \\ h=3tg \alpha \sqrt{5}$

$V = a \cdot b \cdot h = 3 \cdot 6 \cdot 3tg \alpha \sqrt{5}=54tg \alpha \sqrt{5}\\ \\ \\ P_c = 2ab + 2ah + 2bh \\ \\ P_c=2 \cdot 3 \cdot 6+2 \cdot 3 \cdot 3tg \alpha \sqrt{5}+2 \cdot 6 \cdot 3tg \alpha \sqrt{5} = 36+72tg \alpha \sqrt{5}$

2 votes Thanks 1