Question

1.Narysuj trójkąt równoboczny i spróbuj obliczyć albo zmniejszyć sumę odległości dowolnego punktu od boków trójkąta i paruwnaj to z wysokością trujkąta

a)potem zmniejsz sumę odległości środka trójkąta od wioerzchołków i porównaj to z wydokością

2.Wybierz dowolny punkt trójkata równobocznego i porównaj sumę jego długościod wierzchołków z wynikiem

a) z zadanie 1.

3.szukaj takiego puntu w krójkącie ostrokątnym o różnych okach albo krórego suma jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza taki punkt jest tylko jeden i nzwany jeste PUNKTEM FERMATA

PLIS BŁAGAM SZYBKO

Answer 1

z.1

 ABC  dany trójkąt równoboczny o boku długości a.

P  -  dowolny punkt  leżący wewnątrz   figury ograniczonej  trójkątem

 

h1,h2, h3  - odległości  tego punktu P od boków trójkąta.

Mamy

0,5 a*h1 + 0,5 a*h2 + 0,5 a*h3 = P    - pole danego trójkąta

więc

0,5 a*( h1 + h2 + h3) = 0,5 a*h ;  h  - wysokość trójkąta ABC

zatem

h1 + h2 + h3 = h

===============

Suma odległości dowolnego punktu leżącego w obszarze ograniczonym trójkątem

równobocznym jest równa  h.

=========================

S  - środek trójkąta  równobocznego ABC

Mamy

I SA I = I SB I = I SC I = (2/3) h

zatem

3* (2/3) h = 2 h

============

Suma odległości środka trójkąta równobocznego od jego wierzchołków jest równa 2 h.

====================================================================

z.2

Q  - dowolny punkt trójkąta równobocznego ABC

k, m ,n  - odległości tego punktu Q od wierzchołków A, B, C  danego trójkąta.

Mamy

a <  k + m

a < m + n

a < k + 2

czyli

3a < 2*( k + m + n)

Inaczej

2*( k + m + n) >  3a

--------------------------

ale

h = a p(3)/2   =>  2h  = ap(3)

a =  2h / p(3)

Wstawiamy  do wzoru za a

Mamy

2*( k + m + n) > 3* [ 2h / p(3)]

2*( k + m + n) > 2h*p(3)       / : 2

k + m + n  >  p(3)*h

====================

Odległość punktu Q od wierzchołków trójkąta równobocznego jest  > p(3)*h

============================================================

p(3) - pierwiastek kwadratowy z  3

 

z.3

O punkcie Fermata możesz poczytać w Internecie, np.  wpisz:

Punkt Fermata w trójkącie       i poczytaj sobie.