Question

1.Na okręgu o promieniu 8cm opisano kwadrat, trójkąt równoboczny i sześciokąt foremny. Jakie pola mają te wielokąty?
2. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 15cm i 20cm. Jaką długość ma promień okręgu opisanego na tym trójkącie?

Pilne, proszę z tłumaczeniem.

Answer 1

1.
Na okręgu opisano trójkąt tzn., że okrąg jest wpisany w trójkąt.
a - długość boku trójkąta równobocznego
h - wysokość trójkąta równobocznego
r - promień okręgu wpisanego
r = 8 cm
Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy ⅓ wysokości tego trójkąta, czyli
r = ⅓*h
8 = ⅓*h
h = 24 cm
h = a*√3 : 2 (wzór na wysokość w Δ równobocznym)
24 = a*√3 : 2 /*2
48 = a*√3 /:√3
a = 48 : √3
a = 16√3
P - pole trójkąta równobocznego
P = a²√3 : 4
P = (16√3)²*√3 : 4
P = 256*3*√3 : 4
P =192√3 cm²

Na okręgu opisano kwadrat tzn., że okrąg jest wpisany w kwadrat.
a - długość boku kwadratu
r - promień okręgu wpisanego
r = 8 cm
Promień okręgu wpisanego w kwadrat jest równy ½ długości boku tego kwadratu, czyli
r = a : 2
8 = a : 2 /*2
a = 16
P - pole kwadratu
P = a²
P = 16²
P = 256 cm²

Na okręgu opisano sześcian foremny tzn., że okrąg jest wpisany w sześcian foremny
a - długość boku sześciokąta foremnego
r - promień okręgu wpisanego
r = 8 cm
Promień okręgu wpisanego w kwadrat jest równy:
r = a√3 : 2
8 = a√3 : 2 /*2
16 = a√3 /:√3
a = 16:√3 = 16√3 : 3
P - pole sześciokąta foremnego
P = 3a²√3 : 2
P = 3*(16√3 : 3)²*√3 : 2 = 3*(16²*3 : 9)*√3 : 2 = 3*(256:3)√3 : 2 = 256*√3 : 2 = 128√3

2.
a, b - przyprostokątne
c - przeciwprostokątna
r - promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym
d - średnia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym
d = 2r
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na środku. Przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu.
c = d = 2r
a = 15 cm
b = 20 cm
Z tw. Pitagorasa
c² = a² + b²
(2r)² = 15² + 20²
(2r)² = 225 + 400
(2r)² = 625
2r = √625
2r = 25 /:2
r = 12,5 cm
Odp. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym ma długość 12,5 cm.