Question

1.Kąt rozwarcia stożka ma miarę 60stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość stożka, jeżeli średnica jego podstawy ma długość 20cm.

2.W stożku o średnicy podstawy długości 30cm kąt pomiędzy tworzącą, a średnicą podstawy ma miarę równą 30stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego
stożka.

Answer 1

Zad 1
d - średnica podstawy = 20 cm
α - kąt wierzchołkowy = 60°
r - promień podstawy = d/2 = 20/2 = 10 cm
h - wysokość stożka = ?
r/h = sin30° = 1/2
r = h * 1/2
h = 2r = 2 * 10 cm = 20 cm
l - tworząca stożka = ?
h/l = cos30° = √3/2
h = l * √3/2
2h = l * √3
l = 2h/√3 = 2 * 20/√3 = 40/√3 = 40√3/3 cm
Pp - pole podstawy = πr² = π * 10² = 100π cm²
Pb - pole powierzchni bocznej = πrl = π * 10 * 40√3/3 =400π√3/3
Pc - pole powierzchni całkowitej = Pp + Pb = 100π + 400π√3/3 = 
= (300π + 400π√3 )/3 = 100π(3 + 4√3)/3 cm²
V - objętość = 1/3 * Pp * h = 1/3 * 100π * 20 = 2000π /3 cm³
zad 2
d - średnica podstawy = 30 cm
r - promień podstawy = d/2 = 30/2 = 15 cm
α - kąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy = 30°
l - tworząca = ?
r/l = cosα = √3/2
r = l * √3/2
2r = l√3
l = 2r/√3 = d/√3 = 30/√3 = 30√3/3 = 10√3 cm
Pp - pole podstawy = πr² = π * 15² = 225π cm²
Pb = πrl = π * 15 * 10√3 = 150π√3 cm²
Pc - pole powierzchni całkowitej = Pp + Pb = 225π + 150π√3 =
= 75π(3 + 2√3) cm²