Question

1.Jaka jest ostatnia cyfra liczby, która jest wynikiem działania 2 do potęgi 20 + 4 do potęgi 25?

2.Ile dwójek należy dodać,aby otrzymać 2 do potęgi 11?

(ps.proszę o sposób obliczenia a nie same wyniki) ;)

Answer 1

Więc masz takie działanie:
2²⁰ + 4²⁵ = 2²⁰ + 2⁵⁰ (Bo 4²⁵ = (2²)²⁵ = 2⁵⁰)
Zauważ teraz co się dzieje, jeśli podnosimy dwójkę do kolejnych (naturalnych) potęg:
2⁰ = 1
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 16
2⁵ = 32
...
Zauważ, że okresowo co 4 potęgi dwójka na końcu się zaczyna powtarzać (więc przy wykładniku 1, 5, 9, 13, 17... będziemy mieć na końcu cyfrę 2). Mamy tutaj 2 do potęgi 20. Sprawdźmy, w których potęgach ostatnią cyfrą jest cyfra 2:
W pierwszej, 5, 9, 13, 17. Następna ostatnia cyfra (po dwójce) jak widać jest 4 (2 do 18 ma ostatnią cyfrę 4), następną 8 (2 do 19 ma ostatnią cyfrę 8) a następną jest 6 (2 do 20 ma na końcu cyfrę 6). Sprawdźmy jeszcze 2 do 25. Skoro 2 do 17 ma na końcu cyfrę 2, to 2 do 21 też ma 2, 29, 33, 37, 41, 45, 49 ma 2 na końcu. Wyliczmy 50. Po dwójce jest czwórka, więc na końcu wyrażenia 2 do 50 będzie 4 też ma dwa, zatem:
1 składnik - ostatnia cyfra 6
2 składnik - ostatnia cyfra 4
Po dodaniu otrzymujemy 6 + 4 = 10 - ostatnia cyfra 0
Odpowiedź: Ostatnią cyfrą tego wyrażenia jest zerówka.
Zadanie 2.

Zauważ, że musimy wykonać takie działanie:
2 * n = 2 do potęgi 11, gdzie n - liczba dwójek, bo jak wiemy:
2 * n = 2 + 2 + 2 + 2 ... + 2 } n składników, zatem:
2n = 2¹¹ /:2
n = 2¹⁰ - więc musimy dodać 2¹⁰ dwójek, czyli 1024 dwójek, by otrzymać 2¹¹.
Odpowiedź: Musimy dodać do siebie 1024 dwójek, żeby otrzymać liczbę 2¹¹.