1.Ile ścian ma ostrosłup o 24 krawędziach?
2.Oblicz pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 6, a krawędź ściany bocznej 5
3.Krawedz podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość, a krawędź boczna jest równa 4 pierwiastek z 3. Jaka objętość ma ten ostrosłup
4.W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ma 2 pierwiastków z 6,a krawędź podstawy 6cm.Ile wynosi długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa?.
5.Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 75cm kwadratowych .Ile razy pole podstawy jest większe od pola ścianbocznej jeśli krawędź podstawy ma długość 0.5dm?
6.Klocek ma kształt czworościanu foremnego o krawędzi 3cm.Oblicz pole powierzchni całkowitej tego klocka.
7. Oblicz objętość ostrosłupa którego podstawa jest sześciokąt foremny o boku 6m,a wysokośćostrosłupa wynosi 7m.
8.Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest 4 razy większe od pola podstawy. Krawędź podstawy ma długość 6cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa
9.*Jaka długość ma wysokość czworościany foremnego o objętości 8 pierwiastków z 3?
z.1
24 : 2 = 12
Podstawą ostrosłupa jest dwunastokąt, zatem jest 12 ścian bocznych.
Razem z podstawą jest 13 ścian.
================================
z.2
a = 6
b = 5
Pc = Pp + Pb = a^2 + 4 P1
P1 - pole jednej ściany bocznej czyli trójkąta równoramiennego o podstawie
długości a = 6
h^2 + (a/2)^2 = b^2
h^2 + 3^2 = 5^2
h^2 = 25 - 9 = 16
h = 4
P1 = (1/2)a*h = (1/2)*6*4 = 12
czyli
Pc = 6^2 + 4*12 = 36 + 48 = 84 [ j^2]
======================================
z.3
Brak danej.
------------------
z.4
h = 2 p(6)
a = 6
Mamy
h1 - wysokość podstawy ostrosłupa czyli trójkata równobocznego
h1 = ap(3)/2 = 6*p(3)/2 = 3 p(3)
x = (2/3) h1 =(2/3)* 3 p(3) = 2 p(3)
b - długość krawędzi bocznej
zatem
b^2 = h^2 + x^2 = [ 2 p(6)]^2 + [ 2 p(3)]^2 = 24 + 12 = 36
b = p(36) = 6
========================
z.5
Pc = 75 cm^2
a = 0,5 dm = 5 cm
Pc = Pp + Pb
Pp = a^2 = ( 5 cm)^2 = 25 cm^2
Pb = Pc - Pp = 75 cm^2 - 25 cm^2 = 50 cm^2
ale Pb = 4*P1
czyli
P1 = Pb : 4 = 50 cm^2 : 4 = 12,5 cm^2
====================================
oraz Pp / Pb = 25 cm^2 /12,5 cm^2 = 2
Odp.Pole podstawy tego ostrosłupa jest 2 razy większe od pola ściany bocznej.
=================================================================
z.6
a = 3 cm
Pc = 4 P1 = 4* [ a^2 p(3)/4] = a^2 p(3) = ( 3 cm)^2 *p(3) = 9 p(3) cm^2
=============================================================
z.7
a = 6 m
h = 7 m
V = (1/3) Pp*h = (1/3) *[ 6* a^2 p(3)/4] * 7 = (1/2) a^2 p(3) * 7 =
= 3,5 * 6 ^2 *p(3) = 3,5 *36 p(3) = 126 p(3)
Odp. V = 126 p(3) m^3
=====================
z.8
Pb = 4 Pp
a = 6 cm
Pp = a^2 = ( 6 cm)^2 = 36 cm^2
Pb = 4* Pp = 4*36 cm^2 = 144 cm^2
Pb = 4 P1
czyli P1 = 36 cm^2
P1 = (1/2)a*h1
36 = (1/2) *6*h1
36 -= 3 h1
h1 = 12
h1 = 12 cm
h^2 + (a/2)^2 = (h1)^2
h^2 + 3^2 = 12^2
h^2 + 9 = 144
h^2 = 135 = 9*15
h = 3 p(15) - wysokość ostrosłupa
----------------
Objętość ostrosłupa
V = (1/3) Pp *h = (1/3) a^2 *h = (1/3)* 6^2 * 3 p(15) = 36 p(15)
V = 36 p(15) cm^3
===========================
z.9
V = 8 p(3)
wzór na objetość czworościanu foremnego
V = [ a^3 p(2)]/12
zatem
[ a^3 p(2)]/12 = 8 p(3) / * 12
a^3 p(2) = 96 p(3) / : p(2)
a^3 = 96 [ p(3)/p(2)]*[ p(2)/p(2)] = 96 p(6)/2 = 48 p(6)
zatem
a = [ 48* p(6)] ^(1/3)
a = [ 8*6]^(1/3)* [ 6^(1/2)]^(1/3)
a = 2* 6^(1/3) * 6*(1/6) = 2* 6^(2/6 + 1/6) = 2*6^(3/6) = 2*6^(1/2)
a = 2 *p(6)
===============
P - pole podstawy czworościanu - trójkąta równobocznego
P = a^2 p(3)/4 = [ 2 p(6)]^2 *p(3)/4 = [ 24 p(3)]/4 = 6 p(3)
P = 6 p(3)
ale V = (1/3) P *h / * 3
3 V = P*h
h = [ 3 V ]/ P
h = [ 3 * 8 p(3)]/ 6 p(3) = 4
Odp. h = 4
=====================================
1.
k = 24 - liczba krawędzi
ś - liczba ścian
n - liczba kątów ostrosłupa, to:
k = 2n
ś = n+1,węc:
2n = 24
n = 12 - ostrosłup 12-kątny
ś = 12+1 = 13
Odp.Ten ostrosłup ma 13 ścian.
2.
a = 6
l = 5
Pc = Pp + Pb
Wysokość ściany bocznej dzieli ten trójkat na dwa prostokatne o podstawie a/2
i wysokosci h.
Z tw. Pitagorasa mamy:
l^2 = (a/2)^2 + h^2
h^2 = l^2 - (a/2)^2 = 5^2 - 3^2 = 25-9 = 16
h = 4
Pc = a^2 + 4 * 1/2 * a*h =a^2 + 2ah = 6^2 + 2*6*4 = 36+48
Pc = 84 [ j^2]
=============
3.
Brak długości krawędzi podstawy.
4.
H = 2V6 cm
a = 6 cm
l = ?
Wysokość podstawy:
h = aV3/2
Z tw.Pitagorasa:
l^2 = H^2 + 2/3 *(aV3/2)^2 = H^2 + 2/3 * 3a^2/4 = H^2 + 1/2 * a^2
l^2 = (2V6)^2 + 1/2 * 6^2 = 24+18 = 42
l = V42 cm
==========
5.
Pc = 75 cm2
a = 0,5 dm = 5 cm
Pp/Pśb = ?
Pc = Pp + Pb
Pp = a^2 = (5cm)^2 = 25 cm2
Pb = Pc - Pp = 75 cm2 - 25 cm2 = 50 cm2
Pśb = Pb/4 = 50cm2/4 = 12,5 cm2
Pc/Pśb = 50cm2/12,5cm2 = 2
Pp = 2 Pśb
Odp.Pole podstawy tego ostrosłupa jest dwukrotnie większe od pola jednej ściany bocznej.
6.
a = 3 cm
Pole całkowite to 4 pola trójkąta równobocznego o boku "a":
Pc = 4 * a^2*V3/4 = a^2*V3 = (3cm)^2 *V3 = 9V3 cm2
Pc = 9V3 cm2
============
7.
a = 6m (w podstawie szesciokąt)
H = 7m
V = ?
V = 1/3 * Pp * H
V = 1/3 * 6 * a^2 *V3/4 * H = 1/2 * a^2*V3 * H
V = 1/2 *(6m)^2 *V3* 7m = 1/2* 36m2 * 7m
V = 126V3 m3
============
8.
Pb = 4Pp
a = 6 cm
V = ?
Pp = a^2 = (6cm)^2 = 36 cm2
Pb = 4 * 36cm2 = 144 cm2
Pśb = 36 cm2
(a) Wysokość ściany bocznej:
Pśb = 1/2 *a*h I*2
ah = 2Pśb
h = 2Pśb/a = 2* 36cm2/6cm
h = 12 cm
(b) Wysokość ostrosłupa:
Z tw.Pitagorasa:
H^2 + (a/2)^2 = h^2
H^2 = h^2 -(a/2)^2 = 12^2 - 3^2 = 144 - 9 = 135
H = V135 [cm] = 3V15 cm
V = 1/3 *Pp * H = 1/3 * 36cm2 * 3V15cm
V = 36V15 cm3
=============
9.
V = 8V3
H = ?
Wzór na objetość czworoscianu foremnego:
V = (a^3 *V2)/13
Wzór na wysokość czworoscianu foremnego:
H = (aV6)/3
Podstawiam do wzoru na objętość:
8V3 = (a^3*V2)/12 I*12
a^3 *V2 = 96V3
a^3 = 96V3/V2 *V2/V2 = 96V6/2 = 48V6
a =48^1/3 * (V6)^1/3 = (8*6)^1/3 *(V6)^1/3 = 8^1/3 * 6^1/3 * (6^1/2)^1/3 =
= 2 * 6^1/3 * 6^1/6 = 2 * 6^3/6 = 2 * 6^1/2 = 2V6
a = 2V6
H = (2V6 * V6)/3 = 2 * 6/3 = 4
H = 4 [ j ]
=========