Question

Układ równań

a)(3+2i)/(1-i)+(2-3i)/(1+i)

b)pierwiastek z 8i

Prosze o pomoc

Answer 1

a)(3+2i)/(1-i)+(2-3i)/(1+i)

przekształcamy ułamki w wyrażeniu a) tak, by w mianowniku wystąpiły liczby rzeczywiste

korzystamy z własności liczb zespolonych  z=a+bi,  z⁻ =a-bi (liczba sprzężona)

wtedy z·z⁻=(a+bi)·(a-bi)=a²+abi-abi-b²·i²=a²+b² bo i²=-1

IzI=√(a²+b²) moduł liczby

IzI²=(a²+b²)=z·z⁻ iloczyn liczby zespolonej i sprzężonej jest liczbą rzeczywistą

liczbą sprzężoną do 1-i  jest 1+i

(3+2i)/(1-i)+(2-3i)/(1+i)=

=[(3+2i)·(1+i)]/[(1-i)·(1+i)]+[(2-3i)·(1-i)]/[(1+i)·(1-i)]=

=[3+5i+2i²]/[1-i²]+[2-5i-3i²]/[1-i²]=

=[3-2+5i]/2+[5-5i]/2=1/2[1+5i+5-5i]=6/2=3

 

b)pierwiastek z 8i

def. pierwiastka liczby zesp.

postać trygonometryczna  z=IzI(cosφ+isinφ) gdzie cosφ=a/IzI,  sinφ=b/IzI

n-ty √z=n-ty√IzI{cos[(φ+2kπ)/n]+isin[(φ+2kπ)/n  gdzie k=0,1,...,n-1

liczba zespolona ma tyle pierwiastków ile wynosi stopień pierwiastka

z=8i  czyli a=0, b=8

Izi=√[a²+b²]=√8²=8

cosφ=0 a sinφ=8/8=1  ⇒ φ=π/2+2mπ  m=0,1,2,...

liczba z=8i ma dwa pierwiastki drugiego stopnia

n=2;  k=0,1

podstawiamy do wzoru

√8i=√8{cos[(φ+2kπ)/2]+isin[(φ+2kπ)/2]}

k=0

z₁=2√2{cosφ/2+isinφ/2}=2√2{cosπ/4+isinπ/4}=2√2{1/√2+1/√2·i}

z₁=2√2·√2(1+i)=2(1+i)=2+2i

k=1

z₂=2√2{cos(π/4+π)+isin(π/4+π)}=2√2{-1/√2-1/√2·i}

z₂=2√2/√2(-1-i)=2(-1-i)=-2-2i