Question

1.Dwie kule o masach M i 4M są oddalone od siebie o r. Na linii łączącej ich środki, dokładnie w połowie odległości znajduje się punkt materialny o masie m. Oblicz wypadkową siłę działająca na na ten punkt. Przyjmij, że G, M, m i r są dane.

2. Dwie kule o masach M i 2M są oddalone od siebie o r. Na linii łączącej ich środki, znajdź taki punkt geometryczny, w którym na punkt materialny o masie m działają siły grawitacji równoważące się. r – dane.
3. Punktowe masy M i 3M są oddalone od siebie o d. Oblicz natężenie pola grawitacyjnego w środku łączącego je odcinka. G, M i d – dane.

Answer 1

1.

Siła działająca na masę m pochodząca od masy M :

F1 = G·M·m/(r/2)² = 4·G·M·m/r²

Siła działająca na masę m pochodząca od masy 4M :

F2 = G·4·M·m/(r/2)² = 16·G·M·m/r²

 

Wypadkowa siła dzialająca na masę m (w stronę masy 4M) :

F = F2 - F1 = 16·G·M·m/r² - 4·G·M·m/r² = 12·G·M·m/r²

 

2.

Niech szukany punkt znajde się w odległości x od masy M.

Wtedy siła działająca na masę m pochodząca od masy M :

F1 = G·M·m/x²

a od masy 2M:

F2 = G·2·M·m/(r - x)²

 

Aby siły te się równoważyły po pierwsze musi zachodzić: F1 = F2

G·M·m/x² = G·2·M·m/(r - x)²

2·x² = (r - x)²

 

Po spierwiastkowaniu stronami mamy dwa równania:

√2·x = r - x          lub        -√2·x = r - x

x·(1 + √2) = r       lub        x·(1 - √2) = r

x = r/(1 + √2)       lub        x = r/(1 - √2)

 

Drugie rozwiązanie jest ujemne i określa punkt leżący na zewnątrz odcinka łączącego masy. W tym punkcie siły F1 i F2 też są równe ale nie równoważą się, bo skierowane w tę samą stronę.

 

Dlatego rozwiązaniem jest tylko punkt odległy o x = r/(1 + √2) = 0.41·r od masy M.

 

3.

Natężenie pola od masy M:    γ1 =  G·M/(d/2)² = 4·G·M/d²

Natężenie pola od masy 3M:   γ2 =  G·3·M/(d/2)² = 12·G·M/d²

 

Wypadkowe natężenie pola grawitacyjnego (w stronę masy 3M) :

γ = γ2 - γ1 = 12·G·M/d² - 4·G·M/d² = 8·G·M/d²