Question

1.Długości boków podstawy prostopadłościanu wynoszą 8 i 6 cm. Przekątna tego prostopadłościanu nachylona jest do płaszczyzny pod kątem 60 °. oblicz pole powierzczni tego prostopadłościanu.

2.oblicz V ostrosłupa prawidłowego czworokątnego w którym wysokość ściany bocznej wynmosi 4cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°.

Answer 1

1. 8² + 6² = a²
64 + 36 = a²
a² = 100
a = 10 cm

H = a√3
H = 10 √3 cm

Pc = 2ab + 2ac + 2bc
Pc = 2*8*6 + 2*6*10√3 + 2*8*10√3
Pc = 96 + 280√3 cm²


2.
V = ⅓ Pp * H

4 = a√2
a = 4/√2
a = 4√2 / √2 * √2
a = 4√2 / 2
a = 2√2
2√2 *2 = 4√2

Pp = 4√2 * 2√2
Pp = 16cm²

H = 4√2

V = ⅓ *16*4√2
V = 21 ⅓ √2 cm ³

Answer 2

Zad.1

W prostopadłościanie przekątna bryły tworzy nam trójkąt prostokątny o kątach:
90, 30, 60. Jest to charakterystyczny trójkąt w matematyce o pewnych własnościach:
Przeciwprostokątna (u nas przekątna bryły) jest dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej (u nas przekątna podstawy). A dłuższa przyprostokątna ( u nas wysokość bryły) ma wzór: a√3/2, gdzie a jest przeciwprostokątną.
Krótszą przyprostokątną mogę wyliczyć z Pitagorasa za pomocą boków w podstawie.
c²=8²+6²
c²=64+36
c²=100
c=10 [cm]

W takim razie przeciwprostokątna (przekątna bryły) to 20 cm.
Obliczę dłuższa przyprostokątną (wysokość bryły):
a√3/2=20√3/2=10√3 [cm]
Nasz bryła ma wymiary 8cmx6cmx10√3cm
Pc=2·8·6+2·8·10√3+2·6·10√3
Pc=96+160√3+120√3
Pc=96+280√3 [cm²]

2.oblicz V ostrosłupa prawidłowego czworokątnego w którym wysokość ściany bocznej wynmosi 4cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°.

W tym zadaniu z kolei wykorzystamy własność trójkąta równoramiennego prostokątnego o kątach:90, 45, 45.
Narysuj sobie te sytuację a zobaczysz trójkąt o przeciwprostokątnej równą 4cm (nasza wysokość ściany bocznej) i dwóch równych przyprostokątnych, które są równocześnie połową krawędzi podstawy i wysokością ostrosłupa. Gdy oblicze te długość będę miała już wszystko potrzebne do wzoru:
V= 1/3 Pp·H
Z Pitagorasa:
x²+x²=4²
2x²=16
x²=8
x=√8
x=2√2 [cm]

A więc krawędź podstawy wynosi 4√2 cm, a wysokość bryły 2√2.

V=⅓·(4√2)²·2√2
V=⅓ ·16·2·2√2
V=64/3·√2
V=21⅓ √2 [cm³]