Question

1.dowieść że jeżeli dwie liczby przy dzieleniu przez 3 daja reszte 1 to ich iloczyn przy dzieleniu prez 3 także daje 1.

2.dane są trzy kolejne liczby naturalne z których pierwsza jest parzysta. Dowieść ze ich iloczyn jest podzielny przez 24.

Answer 1

zad 1

pierwsza liczba:

a=3k+1

druga liczba:

b=3w+1

 

a*b=(3k+1)*(3w+1)

a*b=9kw+3k+3w+1

a*b=3(3kw+k+w)+1

 

Dzięki temu widzimy że iloczyn tych liczb jest podzielny z resztą(1) przez 3.

 

zad 2

Ciężko mi to zapisać, ale spróbuje, może ktoś będzie miał lepszy pomysł:

 

a,b,c - trzy kolejne liczby naturalne, gdzie a i c są parzyste, tzn mają rozkład:

a=2k

c=2w

 

dodatkowo k lub w jest również liczbą parzystą. Dla uproszczenia przyjmijmy że w jest liczbą parzystą(w=2t). Przy tych założeniach otrzymujemy

 

a=2k

c=4t

 

Ponieważ są to trzy kolejne liczby, więc jedna z nich musi być podzielna przez 3. Przyjmiejmy że b ma taki rozkład. Czyli ostatecznie mamy:

 

a=2k

b=3p

c=4t

 

Reasumując:

 

a*b*c=2k*3p*4t = 24kpt

Więc od razu można zauważyć, że iloczyn tych liczb jest podzielny przez 24.

 

=)