Question

1. Wyznacz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest dwa razy większa od krawędzi podstawy. ( odp -1/17).
2. Kąt dwuścienny między sąsiednimi ścianami ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma miarę 120 stopni, a krawędź podstawy ma długość 6. Oblicz objętość ostrosłupa. ( odp v=36)

Answer 1

1]
a=dl. krawedzi podstawy
H=wysokosc bryły=2a
l-boczna krawędź ostrosłupa

 p-przekątna podstawy=a√2

  h-wysokość ściany bocznej wystawiona na krawędź boczną

x,y-odcinki na jakie wysokość podzieliła krawędź boczną

cosa-szukana wartość
 H=2a
 p=a√2

 H²+(a√2)²=l²
 l²=(2a)²+(a√2)²=4a²+2a²/4
l²=4a²+1/2a²
l²=9a²/2
l=3a/√2
l=3a√2/2

x+y=l
 h²+x²=l²
 h²+y²=a²

 odejmujemy stronami

 x²-y²=l²-a²
 x²-(l-x)²=l²-a²
 x²-l²+2lx-x²=l²-a²
 2lx=2l²-a² x=(2l²-a²)/2
l=(2*(9a²/2)-a²)/(2*3*√2*a/2)=4*√2*a/3 h²=l²-x²=9a²/2-(4*√2*a/3)²=(17/18)*a² h=√(17/18)*a p²=h²+h²-2*h*h*cosa

p²=2*h²-2*h²*cosa cosa=(2*h²-p²)/2*h²

 cosa=(2*(17/18)*a²-2*a²)/2*(17/18)*a² cosa=-1/17
2]
a=dł. krawedzi podstawy=6
Pp=a²=6²=36
podstawa to kwadrat ABCD
S to wierzchołek
wysokosc sciany to ramię trójkata równoramiennego  o kacie przy wierzchołku P=120*  i podstawie AC, która jest przekatną kwadratu ABCD
d=a√2=6√2
1/2d / h= sin 60
3√2/h=√3/2
h=6√6/3=2√6

 I PB I²=6²-h²
I PBI²=36-(2√6)²
I PBI=2√3
X to spodek wysokosci sciany ASB poprowadzonej z S
trójkaty SXB  i APB są podobne
h/ SX= PB / XB

2√6/SX=2√3/3
I SXI=6√6/2√3=3√2

H=wysokosc bryły
H²=I SX I²-3²
H²=18-9=9
H=3
V=1/3 pPH=1/3*36*3=36 j.³