15. Oblicz pole kwadratu ABCD, wiedząc, że A = (2, – 1) i C = (– 4, 1). 16. Punkt S =(2, 7) jest śro.... Question from @angela21079

June 2022 1 10 Report

15. Oblicz pole kwadratu ABCD, wiedząc, że A = (2, – 1) i C = (– 4, 1).
16. Punkt S =(2, 7) jest środkiem odcinka AB, w którym A = (– 3, 2). Wyznacz współrzędne punktu B.
17. Wiedząc, że α jest kątem ostrym i cosα = , oblicz sinα.
18. Wiedząc, że α jest kątem rozwartym i sinα = , oblicz cosα.
19. Oblicz pole i obwód trójkąta równobocznego wiedząc, że jego wysokość ma długość 5.

julianwyrkowski

Odpowiedź:

15.

Wierzchołki A i C są przeciwległe, więc odległość pomiędzy nimi to przekątna kwadratu. Obliczmy tę długość: $|AC|=\sqrt{(-4-2)^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{(-6)^2+2^2)}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10\\}$ .

Ale pamiętamy, że jeśli bok kwadratu ma jakąś długość " $a$ ", to jego przekątna ma długość $a\sqrt{2}$ . Zatem mamy, że

$a\sqrt{2}=2\sqrt{10}$ , teraz obliczając "a" dostaniemy:

$a=\frac{2\sqrt{10} }{\sqrt{2} }=2\cdot \sqrt{\frac{10}{2} } =2\sqrt{5}$ , pole kwadratu to oczywiście : $P=a^2$ , więc

$P=(2\sqrt{5})^2=4\cdot 5=20$ .

16.

Wzór na środek odcinka:

$S=\Big(\frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \Big)$ , znamy współrzędne jednego z punktów, więc współrzędne drugiego oznaczmy jako niewiadome B=(x,y). Wtedy podkładając do wzoru na środek, otrzymamy:

$\Big(2, 7\Big)=\Big(\frac{-3+x}{2}, \frac{2+y}{2} \Big)$ , to równanie opisuje równość dwóch punktów, a jakieś dwa punkty są równe, kiedy mają te same współrzędne, więc możemy przyrównać do sienie współrzędne w taki sposób:

$2=\Big(\frac{-3+x}{2} \Big) \ oraz\ 7=\Big(\frac{2+y}{2} \Big)$ ,czyli obliczając niewiadome z obu równań, dostaniemy:

$x=7\ i\ y=12$ , są to współrzędne punktu B.

17. Nie napisano w treści ile to jest ten $\cos(\alpha)$ , więc podam ogólny wzór.

Trzeba wykorzystać " 1 trygonometryczną" , wiemy, że zawsze :

$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$

Obliczając z tego równania sinusa, dostaniemy:

$\sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)\\\sin(\alpha)=+\ \sqrt{1-\cos^2(\alpha)}\ lub\ -\ \sqrt{1-\cos^2(\alpha)}$

Ale z treści zadania wynika, że kąt alfa jest ostry, czyli sinus tego kąta powinien być dodatni, zatem w tym przypadku odpowiedź to:

$\sin(\alpha)=+\ \sqrt{1-\cos^2(\alpha)}$

Wystarczy podstawić do tego wyniku ten cosinus, jeśli był podany w zadaniu.

18.

Bardzo podobne jak wyżej, tylko teraz z " 1 trygonometrycznej" wyznaczamy cosinusa, czyli:

$\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)\\\cos(\alpha)=+ \sqrt{1-\sin^2(\alpha)} \ lub\ \cos(\alpha)= - \sqrt{1-\sin^2(\alpha)}$

Skoro w zadaniu kąt alfa jest rozwarty, to jego cosinus powinien być ujemny:

$\cos(\alpha)= - \sqrt{1-\sin^2(\alpha)}$

19.

Patrz rysunek!

Żeby obliczyć pole i obwód potrzebujemy boku tego trójkąta. Z treści zadania i rysunku wynika, że

$\sin(60^{\circ})=\frac{5}{a} \\\frac{\sqrt{3} }{2}=\frac{5}{a} \\\sqrt{3}\cdot a=10\\a= \frac{10}{\sqrt{3} }=\frac{10\sqrt{3} }{3}$ , czyli

$Ob= 3\cdot a=3\cdot \frac{10\sqrt{3} }{3}=10\sqrt{3} \\\\P=\frac{ah}{2}= \frac{1}{2}\cdot \frac{10\sqrt{3} }{3}\cdot 5=\frac{5\sqrt{3} }{3} \cdot 5=\frac{25\sqrt{3} }{3}$