Question

Proszę o rozwiązanie!
Zadanie 1.
Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego i wysokość jego ściany bocznej tworzą taki kont alfa że sinus alfa jest równy 5/13. Oblicz Pc jeśli wysokość tego ostrosłupa wynosi 12cm.

Zadanie 2.
Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4cm i jest nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 stopni. Oblicz V, jaka jest długość krawędzi sześcianu o danej objętości tego ostrosłupa.

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

zad1

Ostrosłup prawidłowy czworokatny, tzn u podstawy kwadrat

Ten kąt alfa znajduje się na górze, pomiędzy wysokością ostrosłupa H=12 cm  a wysokością trójkąta ściany bocznej

Skoro sin α = 5/13 to z jedynki trygonometrycznej obliczymy cos α:

sin²α + cos²α = 1

cos²α = 1 - sin²α = 1 - (5/13)² = 1 - 25/169 = 169/169 - 25/169 = 144/169

cosα = 12/13

Obliczylismy cosα, bo bedzie łatwiej znaleźć wysokość ściany bocznej, ponieważ zbudujemy trójkąt prostokątny skladający sie z:

- jedna przyprostokątna - 1/2 a (gdzie a bok kwadratu)

- druga przyprostokatna - wysokość ostrosłupa H = 12

- przeciwprostokatna - wysokość trójkąta bocznego h

wtedy :

cosα = H/h   czyli:

12/13 = 12/h

h = 12 * 13/12 = 13 cm

z tw Pitagorasa znajdziemy 1/2 a:

H² + (1/2a)² = h²

12² + 1/4a² = 13²

1/4 a² = 169 - 144 = 25

a² = 100

a = 10

Pc (pole całkowite) = 4* Pb (pole trójkata bocznego) + Pp (pole podstawy)

Pp = a² = 10² = 100 cm²

Pb = 1/2 * a * h = 1/2 * 10 * 13 = 65 cm²

Pc = 4*65 + 100 = 260 + 100 = 360 cm²

zad 2

Ostrosłup prawidłowy czworokątny - u podstawy kwadrat.

Budujemy trójkąt prostokątny składający sie z :

- jedna przyprostokątna - wysokość H ostrosłupa,

- druga przyprostokątna - połowa przekątnej kwadratu (a√2/2)

- przeciwprostokątna - krawędź sześcianu = 4 cm

wtedy:

H/4 = sin 30° = 1/2

H = 2 cm

ponieważ połowa [przekątnej kwadratu = a√2/2   to

z tw Pitagorasa:

(a√2/2)² + H² = 4²

a²/2 + (2)² = 16

a²/2 = 16-4 = 12

a² = 24

a = 2√6

V = 1/3 * Pp * H

V = 1/3 * (2√6)² * 2 = 1/3 * 24 * 2 = 16 cm³

Jeśli zbudujemy sześcian o tej objętości to:

V = a³ = 16

a = ∛16 = ∛(8*2) = 2∛2 cm