Question

Sprawdzić czy funkcja jest różnowartościowa:

a) F(x) = x² - 5x + 4

b) F(x) = x /(1+2x)

Answer 1

A) F(x) = x² - 5x + 4

Df=R (dziedzina funkcji f(x) jest zbiór liczb rzeczywistych)

Założenie:
Niech x₁, x₂∈Df (i) f(x₁)=f(x₂)

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji
f(x)=0
x² - 5x + 4=0 <<<funkcja kwadratowa
Δ=25-16=9
√Δ=3
x₁=(5-3)/2=1
x₂=(5+3)/2=4
Funkcja ma dwa miejsca zerowe, czyli dla dwóch różnych argumentów przyjmuje tę samą wartość równą zero.

Czyli funkcja nie jest różnowartościowa.

b) F(x) = x /(1+2x)
Obliczam dziedzine funkcji:
1+2x≠0 <=> 2x≠-1 <=> x≠-1/2
Df=R-{-1/2}
(Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych bez -1/2)

Założenie:
Niech x₁, x₂ ∈Df (i) f(x₁)=f(x₂)
x₁/(1+2x₁)=x₂/(1+2x₂)
x₁*(1+2x₂)=x₂*(1+2x₁)
x₁+2x₁x₂=x₂+2x₁x₂ (skracamy)
x₁=x₂
(Zgodnie z definicją różnowartościowości, wychodzi nam że funkcja jest różnowartościowa)