Question

Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe x1, x2 takie, że x1+x2=5 i 1/x1+1/x2=5/6. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział <-1/12,+nieskończoność). Napisz wzór w postaci ogólnej.

Answer 1

Szkoła średnia

Dział Funkcja kwadratowa  i jej własności

Funkcja kwadratowa w postaci ogólnej jest dana wzorem

Z treści zadania wiemy, że

Wiemy, że funkcja kwadratowa ma dwa różne rzeczywiste miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni, tj. zachodzi nierówność

W szczególności z powyższego wnosimy, że szukana funkcja ma dwa miejsca zerowe różne od zera, zatem

Wiemy, że ramiona paraboli są skierowane w górę wtedy i tylko wtedy, gdy

Zbiór wartości funkcji kwadratowej jest ograniczony z dołu, zatem ramiona paraboli muszą być skierowane w górę.

Skorzystajmy z twierdzenia Viete'a:

Niech dane będzie równanie kwadratowe w którym Jeżeli to zachodzą następujące równości (wzory Viete'a):

Zauważmy, że możemy przekształcić nieco podaną równość:

Skoro zbiorem wartości rozważanej funkcji jest przedział to W takim razie:

Pozostaje nam obliczyć kolejne współczynniki trójmianu kwadratowego naszej funkcji:

Wobec tego funkcja jest dana wzorem