Question

Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 250.Wiedząc że ramię tworzy z podstawą taki kąt α że tgα= 5/12, oblicz pole trójkąta.


Tylko dokładne rozwiązania proszę !:)

Answer 1

Rysunek trójkąta w załączniku.

Obw.=2a+2b=250

tgα= 5/12=h/b
Z tego można wyliczyć h:
5/12=h/b /×b
h=5b/12

teraz z twierdzenia pitagorasa:
b²+h²=a²
h zastępujemy powyższą równościa (h=5b/12)
b²+(5b/12)²=a²

Zapisujemy układ równań:
b²+(5b/12)²=a²
2a+2b=250

b²+25b²/144=a²
2a+2b=250

169b²/144=a² /√ (możemy zpierwiastkować, gdyż obie wartości a i b są
2a+2b=250 dodatnie- ponieważ to długości boków)

13b/12=a
2a+2b=250

W miejsce a w drugim równaniu podstawiamy wartość a z pierwszego równania

13b/12=a
2(13b/12)+2b=250

13b/12=a
13b/6+2b=250

13b/12=a
13b/6+2b=250

13b/12=a
(4+1/6)b=250 /:(4+1/6)

13b/12=a
b=60

a=13×60/12=65
b=60

Stąd podstwa trójkąta wynosi 2b=120, a jego wysokość h=5b/12=5×60/12=25

Czyli pole trójkąta wynosi:
P=1/2×2b×h=1/2×120×25=1500

Answer 2

Narysuj trójką równoramienny:
Oznaczenia:
ramiona: a
wysokość: h
podstawa: 2b(tak będzie łatwiej, wysokość dzieli podstawę na dwa równe odcinki b,b)

Obw.=2a+2b
250= 2a+2b

tg=5/12=h/b

h^2+b^2=a^2

Układ składający się z trzech równań:

250= 2a+2b
tg=5/12=h/b
h^2+b^2=a^2

Krok pierwszy z drugiego równania wyliczymy h
h=b*5/12

Krok drugi podstawiamy do trzeciego równania wyliczone h, z którego wyliczymy b

(b*5/12)^2+b^2=a^2
b^2*25/144+b^2=a^2 ( obie str. mnożymy przez 144-pozbywamy się ułamka)

25b^2+144b^2=144a^2
169b^2=144a^2
b^2=144a^2/169
b=pierwiastek z 144a^2/169
b=12/13*a

Krok trzeci podstawiamy do pierwszego równania wyliczone b

2a+2*(12/13a)=250
2a+24/13a=250 ( obie str. mnożymy przez 13-pozbywamy się ułamka)
26a+24a=3250
50a=3250
a=3250/50
a=65

i wyliczamy kolejno: b i h
b=12/13a=12/13*65=60

h=5/12b=5/12*60=25

Spr.
2a+2b=250
2*65+2*60=250
130+120=250
250=250
L=P

P=1/2h*2b
P=1/2*25*2*60
P=1500

Legenda:
/ kreska ułamkowa
^2 do kwadratu
* mnożenie
pozdrawiam:)