Question

10z4+5z3-20z factorizar polinomios

Answer 1

Respuesta:

1 x^{3} + x^{2} = x^{2} (x + 1)

La raíces son: x = 0  y  x = -1

2  2x^{4} + 4x^{2} = 2x^{2} (x^{2} + 2)

Sólo tiene una raíz x = 0 porque que el polinomio, x^{2} + 2, no tiene ningún valor que lo anule. Como la x es al cuadrado, el resultado siempre será un número positivo, entonces es irreducible.

Doble extracción de factor común

1 x^{2} - ax - bx + ab = x (x - a) - b (x - a)

Sacamos factor común de x  y y.

Como (x-a)  es ahora un factor común, sacamos factor común de (x-a) .

x (x - a) - b (x - a) = (x - a) \cdot (x - b)

La raíces son x=a  y x=b.

Si tenemos un binomio

Cuando tenemos un binomio, puede ocurrir alguno de los siguientes casos:

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a^{2} - b^{2} = (a + b) \cdot (a - b)

Ejemplos de ejercicios con diferencia de cuadrados:

Descomponer en factores y hallar las raíces

1 x^{2} - 4 = (x + 2) \cdot (x - 2)

Las raíces son x=-2 y x=2

2 x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) \cdot (x^{2} - 4) =

El ultimo termino es también una diferencia de cuadrados, entonces:

(x^{2} + 4) \cdot (x^{2} − 4) = (x + 2) \cdot (x − 2) \cdot (x^{2} + 4)

Las raíces son x=-2   y  x=2

Suma de cubos

a^{3} + b^{3} = (a + b) \cdot (a+b)^{2} =(a+b) \cdot (a^{2} - ab + b^{2})

Ejemplo de ejercicio con suma de cubos:

8x^{3} + 27 = (2x + 3) \cdot (2x + 3)^{2} = (2x + 3) \cdot (4x^{2} - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a^{3} - b^{3}= (a - b) \cdot (a^{2} + ab + b^{2})

Ejemplo de ejercicio con diferencia de cubos :

8x^{3} - 27 = (2x - 3) (4x^{2} + 6x + 9)

Si tenemos un trinomio

Cuando tenemos un trinomio, puede ocurrir alguno de los siguientes casos

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

Ejemplos de trinomios cuadrados perfectos

Descomponer en factores y hallar las raíces

1 Estructura de un binomio al cuadrado grafica

Tenemos que preguntarnos:

¿Qué número elevado al cuadrado da 9? La respuesta es 3?

¿Qué número elevado al cuadrado da x^{2}?La respuesta es x.

Y tenemos que comprobar que 2 \cdot 3 \cdot x = 6x

La raíz esx=-3, y se dice que es una raíz doble.

2 estructura de un binomio elevando al cuadrado dibujo

¿Qué número elevado al cuadrado da x^{2}? x

¿Qué número elevado al cuadrado da 4? 2

Y tenemos que comprobar que 2 \cdot x \cdot 2 = 4x

La raíz doble es x = 2.

Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax^{2} + bx + c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de segundo grado.

Si las soluciones a la ecuación son x_1  y x_2 , el polinomio descompuesto será:

ax^{2} + bx + c = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)

Ejemplos de trinomios de segundo grado

Descomponer en factores y hallar las raíces

1 x^{2}-5x+6

Igualamos el trinomio a cero

x^{2}-5x+6=0

Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado:

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Aplicación de la formula general para ecuaciones de segundo grado

Factorizamos

x^{2}-5x+6=(x-2)\cdot (x-3)

Las raíces son x=3  y x=2 .

2 x^{2}-x-6

Igualamos el trinomio a cero

x^{2}-x-6=0

Resolvemos la ecuación

Aplicacion de la formula general para ecuaciones de 2do grado

Factorizamos

x^{2}-x-6=(x+2)\cdot (x-3)

Las raíces son x=3  y x=-2 .

Trinomios de cuarto grado de exponentes pares

Para hallar las raíces se iguala a cero y se resuelve la ecuación bicuadrada.

Ejemplos de trinomios de cuarto grado de exponentes partes

1 x^{4} - 10x^{2} + 9

Igualamos el polinomio a cero

x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0

Realizamos un cambio de variable

x^{2} = t

t^{2} - 10t + 9 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado

Aplicación de la formula general a una ecuación con cambio de variable

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

x^{2}=9 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{9}=\pm 3

x^{2}=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{1}=\pm 1

x^{4} - 10x^{2} + 9 = (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)

2 x^{4} - 2x^{2} -3

Igualamos el polinomio a cero

x^{4} - 2x^{2} -3 = 0

Realizamos un cambio de variable

x^{2} = t

t^{2} - 2t -3 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado

Uso de la formula general para ecuaciones de segundo grado

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

x^{2} =3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{3}

Explicación paso a paso: