Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), określony dla każdej
liczby naturalnej n≥1. Suma wszystkich wyrazów o numerach parzystych jest
równa 243, a suma wszystkich wyrazów o numerach podzielnych przez 4 jest
równa 24 3/10 . Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (an).
liczby naturalnej n≥1. Suma wszystkich wyrazów o numerach parzystych jest
równa 243, a suma wszystkich wyrazów o numerach podzielnych przez 4 jest
równa 24 3/10 . Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (an).
Jeżeli [tex]\{a_n\}=\{a_1,a_1q,a_1q^2,\dots\}[/tex] a [tex]b_n[/tex] to ciąg wyrazów ciągu [tex]a_n[/tex] o numerach parzystych i [tex]c_n[/tex] ciąg wyrazów ciągu [tex]a_n[/tex] o numerach podzielnych przez 4, to możemy zapisać ciągi [tex]b_n[/tex] i [tex]c_n[/tex] następująco:
[tex]\{b_n\}=\{a_1q,a_1q^3,a_1q^5,\dots\}\\\{c_n\}=\{a_1q^3,a_1q^7,a_1q^{11},\dots\}\\[/tex]
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego wyrażą się wzorem [tex]S=\dfrac{a_1}{1-q}[/tex] (przy założeniu, że [tex]|q|\leq1[/tex]).
Niech [tex]S_{a_n},S_{b_n},S_{c_n}[/tex] oznaczają kolejno sumy ciągów [tex]a_n,b_n,c_n[/tex].
Możemy zapisać, że:
[tex]S_{a_n}=\dfrac{a_1}{1-q}[/tex]
[tex]S_{b_n}=\dfrac{a_1q}{1-q^2}=243\\\\S_{c_n}=\dfrac{a_1q^3}{1-q^4}=24\dfrac{3}{10}[/tex]
Zauważamy, że:
[tex]S_{c_n}=24\dfrac{3}{10}=\dfrac{243}{10}=\dfrac{S_b_n}{10}[/tex]
Zatem:
[tex]\dfrac{a_1q^3}{1-q^4}=\dfrac{\dfrac{a_1q}{1-q^2}}{10}\\\\\dfrac{10a_1q^3}{1-q^4}=\dfrac{a_1q}{1-q^2}\\\\\dfrac{10q^2}{(1-q^2)(1+q^2)}=\dfrac{1}{1-q^2}\\\\\dfrac{10q^2}{1+q^2}=1\\\\10q^2=1+q^2\\9q^2=1\\q^2=\dfrac{1}{9}\\\\q=-\dfrac{1}{3} \vee q=\dfrac{1}{3}[/tex]
Obie wartości [tex]q[/tex] spełniają warunek [tex]|q|\leq1[/tex].
Liczymy [tex]a_1[/tex]:
[tex]\dfrac{a_1\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)}{1-\dfrac{1}{9}}=243\\\\\dfrac{-\dfrac{a_1}{3}}{\dfrac{8}{9}}=243\\\\\dfrac{-\dfrac{a_1}{3}}{\dfrac{8}{9}}=243\\\\-\dfrac{a_1}{3}=216\\\\a_1=-648[/tex]
[tex]\dfrac{a_1\cdot\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{9}}=243\\\\\dfrac{\dfrac{a_1}{3}}{\dfrac{8}{9}}=243\\\\\dfrac{a_1}{3}=216\\\\a_1=648[/tex]
I teraz liczymy [tex]S_{a_n}[/tex]:
[tex]S_{a_n}=\dfrac{-648}{1-\left(-\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{-648}{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{-648}{\dfrac{4}{3}}=-486[/tex]
[tex]S_{a_n}=\dfrac{648}{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{648}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{648}{\dfrac{2}{3}}=972[/tex]
A więc [tex]S_{a_n}=-486 \vee S_{a_n}=972[/tex].
No i teraz powstaje pytanie, czy rzeczywiście mogły wyjść tu dwa rozwiązania czy coś namieszałem...
ja generalnie specjalnie nie znam się na szeregach