Question

1. znajdź równania prostych zawierających wysokości trójkąta, wiedząc, że jego boki są zawarte w prostych o równaniach:

y=4 , y=-2x-2 , y=x-2

2. punkty A(1,2) , B(7,-1) , C(11,2) i D(5,5) są wierzchołkami równoległoboku.

Znajdź równania prostych, w których zawierają się wysokości tego równoległoboku opuszczone z wierzchołka D.

Answer 1

zad.1/

 

                         wzór ogólny prostej - y=ax+b

                         wzór prostej prostopadłej y=a₁x+b₁, gdzie a₁=-1/a

 

- wysokośc trójkąta  zawiera prosta prostopadła do prostej : y=-2x-2          

  dla ww. prostej  a=-2, a dla prostej prostopadłej a₁=-1/a=-1/(-2)=½

    prosta prostopadła do prostej y=-2x-2 (zawierajaca wysokośc trójtąta to prosta

    y=½x+b przechodząca przez punkt (6,4)

            4=1/2*6+b= 3+b

            b=4-3=1

   wzór tej prostej:y=1/2x+1

-drugą wysokośc trójkąta zawiera prosta prostopadła do prostej y=x-2

  a dla tej prostej wynosi a=1

  to a₁ prostej prostopadłej a₁=-1/a=-1/1=-1

  prosta prostopadła do ww. prostej zawierająca wysokośc trójkąta ma wzór

                            y=-x+b  przechodząca przez punkt (-3,4)

                             4=-(-3)+b=3+b

                              b=4-3=1

                             y=-x+1

trzecia wysokość trójkąta to  prosta x=0 prostopadła do prostej y=4

zad. 2/

wysokość opuszczona z punku D to będzie prosta prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty A (1,2) i B(7, -1)  oraz do priosej przechodzącej przez punkty B (7,-1) i C(11,2)

 

prosta przechodząca przez punkty A i B

                                y=ax+b

 

                                2=a+b

                                -1=7a+b

 

                                 b=2-a

                                 -1=7a+(2-a)=7a+2-a

                                  -3=6a

                                   a=-3/6

                                   a=-½

 

                                   b=2-(-½)=2+½=2½

                    równanie prostej przechodzącej przez punkty AiB

                                 y=-½x+2½

                                        a₁=-1/a=-1/(-½)=2

 

                    równanie prostej prostopadłej zawierajacej wysokość opuszczona       z punktu D(5,5)   to y=2x+b 

                              5=2*5+b

                              b=5-10=-5

                                 y=2x-5

 

 

                  prosta przechodząca przez punkty B i C

                                 -1=7a+b

                                 2=11a+b

 

                                  b=-1-7a

                                  2=11a+(-1-7a)=11a-1-7a=4a-1

                                 

                                  b=-1-7a

                                  4a=3  a=¾

 

                                  b=-1-7*3/4=-1-21/4=-4/4-21/4=-25/4=-6¼

 

                                  a=¾

                                  b=-6¼

 

                           wzór prostej  przechodzącej przez punkty Bi C

                                  y=¾x-6¼

prosta do niej prostopadła to prosta gdzie a₁=-1/a=-1:¾=-4/3=-1¼

                                 wzór prostej y=-1¼x+b

                        prosta ta przechodzi przez punt D: (5,5)

                                             5=-1¼*5+b

                                             b=5+4/3*5=5+20/3=15/3+20/3=35/3=11⅔

prosta prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty B i C stanowiąca wysokość równolegloboku  opuszczoną z punktu D

                          y=-1¼x+11⅔