Question

1) Zapisz wzór funkcji w postaci kanonicznej

f(x)=-x²-6x-7

f(x)=2x²-4x+12

f(x)=½x²+4x+5

2) Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej

f(x)=-2x²-8x+10

f(x)=3x²+2x-1

f(x)=9x²-81

3) Rozwiąż równanie

a) -4x²+20=0

b) x²-10x+25=0

c) 3x²+5x=2

4) Rozwiąż nierówność

a) 4x²+9x>0

b) 81x²≥25

c) ½(x+1)(x-1)≥0

5) Zapisz wzór funkcji w postaci iloczynowej o ile to możliwe

f(x)=½x²+6x+10

f(x)=⅔x²+6x+12

f(x)=-4x²+40x-36

Answer 1

1.

f(x) = a(x-p)²+q   - postac kanoniczna

a)

f(x) = -x²-6x-7 

p = -b/2a = 6/(-2) = -3

q = f(p) = f(-3) = -(-3)²-6(-3)-7 = -9+18-7 = 2

f(x) = -(x+3)²+2

===========

b)

f(x) = 2x²-4x+12

p = 4/4 = 1

q = f(1) = 2*1²-4*1+12 = 2-4+12 = 10

f(x) = 2(x-1)²+10

============

c)

f(x) = ½ x²+4x+5

p = -4/(2*½) = -4

q = f(-4) = ½ *(-4)²+4*(-4)+5 = 8-16+5 = -3

f(x) = ½(x+4)²-3

===========

 

2.

a)

f(x) = -2x²-8x+10

-2(x²+4x-5) = 0  /:(-2)

x²+4x-5 = 0

Δ = b²-4ac = 16+20 = 36

√Δ = 6 

x₁ = (-b-√Δ)/2a = (-4-6)/2 = -5

x₂ = (-b+√Δ)/2a = (-4+6)/2 = 1

MZ: {-5; 1}

 

b)

f(x) = 3x²+2x-1

3x²+2x-1 = 0

Δ = 4+12 = 16

√Δ = 4 

x₁ = (-2-4)/6 = -1

x₂ = (-2+4)/6 = 1/3 

MZ: {-1; 1/3}

 

c)

f(x) = 9x²-81

9x²-81 = 0  /:9

x²-9 = 0

(x+3)(x-3) = 0

x = -3   v   x = 3

MZ: {-3;3}

 

3.

a)

-4x²+20 = 0  /:(-4)

x²-5 = 0

x² = 5

x = -√5   v   x = √5

 

b)

x²-10x+25 = 0

(x-5)² = 0

x = 5

 

c)

3x²+5x = 2

3x²+5x-2 = 0

Δ = 25+24 = 49

√Δ = 7 

x₁ = (-5-7)/6 = -12/6 = -2

x₂ = (-5+7)/6 = 2/6 = 1/3

Odp. x = -2   v   x = 1/3

 

4.

a)

4x²+9x > 0

x(4x+9) = 0

x = 0 

lub

4x+9 = 0  => x = -9/4

a = 4 > 0, parabola ramionami skierowana w górę

x ∈ (-∞; -9/4) u (0; +∞)

 

b)

81x² ≥ 25

81x²-25 ≥ 0

(9x+5)(9x-5) ≥ 0 

9x = -5  => x = -5/9

9x = 5   => x = 5/9

a = 81 > 0, ramiona paraboli skierowane w górę

x ∈ (-∞; -5/9> u <5/9; +∞)

 

c)

½(x+1)(x-1) ≥ 0

x = -1   v   x = 1

a = 1/2 > 0, ramiona paraboli skierowana w górę

x ∈ (-∞; -1> u <1; +∞)

 

5.

f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)  - postać iloczynowa

 

a)

f(x) = ½ x²+6x+10

½ x²+6x+10 = 0

Δ = 36-4(1/2)*10 = 16

√Δ = 4 

x₁ = (-6-4)/1 = -10

x₂ = (-6+4)/1 = -2

f(x) = ½(x+1)(x+2)

 

b)

f(x) = ⅔ x²+6x+12

⅔ x²+6x+12 = 0

Δ = 36-2*(2/3)*12 = 36-32 = 4

√Δ = 2 

x₁ = (-6-2)/(4/3) = -6

x₂ = (-6+2)/(4/3) = -3

f(x) = ⅔(x+6)(x+3)

 

c)

f(x) = -4x²+40x-36

-4(x²-10x+9) = 0  /:(-4)

x²-10x+9 = 0

Δ = 100-36 = 64

√Δ = 8 

x₁ = (10-8)/2 = 1

x₂ = (10+8)/2 = 9

f(x) = -4(x-1)(x-9)

 

 

Answer 2

1)   f(x) = - x² -6x -7

          p = -b/2a = 6/(-2) = -3

          q = f(p) = f(-3) = -(-3)² -6·(-3) -7 = -9 +18 -7 = 2

      Postać kanoniczna:    f(x) = a(x -p)² + q       ,      f(x) = - (x +3)² + 2

     

        f(x) = 2x² - 4x + 12

           p = -b/2a = 4/4 = 1,     

           q = f(p) = f(1) = 2 -4 +12 = 10  ,         f(x) = 2( x -1)² + 10

   

        f(x) = ½ x² + 4x +5

           p = -b/2a = -4/1 = -4,

           q = f(p) = f(-4) = ½·(-4)² + 4·(-4) + 5 = 8 -16 +5 = -3,       f(x) = ½( x+4)² -3

 

   2)   f(x) = -2x² -8x + 10

           Δ = b²-4ac = 64 -4·(-2)·10 = 64 + 80 = 144,      √Δ = 12

        x₁ = (8-12)/ (-4)= -4/(-4) = 1,       x₂ = (8+12)/(-4) = 20/(-4) = -5

            Miejsca zerowe:    x = 1  i   x = -5.

 

         f(x) = 3x² +2x -1

         Δ = 4 - 4·3·(-1) = 4 + 12 = 16,        √Δ = 4

         x₁ = (-2-4)/6 = -6/6 = -1,       x₂ = (-2+4)/6 = 2/6 = ⅓

            Miejsca zerowe:   x = -1   i   x = ⅓ .

      

        f(x) = 9x² - 81

           f(x) = 9(x² - 9) = 9(x -3) (x+3)

          x-3 =0 ,    x+3 =0

           x = 3,    x = -3

 

3)  a) -4x² + 20 = 0

           -4( x² - 5) = 0

            -4( x -√5)( x +√5) = 0

               x - √5 = 0    ∨   x + √5 = 0

                 x = √5              x = - √5

 

      b)  x² - 10x + 25 = 0

            (x - 5)² = 0

             x - 5 = 0      ⇒    x = 5

 

     c)   3x² + 5x = 2

            3x² +5x -2 = 0

             Δ = b²-4ac = 25 -4·3·(-2) = 25 + 24 = 49,     √Δ = 7

            x₁ = (-5-7)/6 = -12/6 = -2,        x₂ = (-5+7)/6 = 2/6 = ⅓

             Pierwiastki równania to: x = -2   i  x = ⅓ .

 

4)  a )     4x²+ 9x > 0

              x(4x + 9) > 0

             x = 0,     4x +9=0

                            4x = -9   /:4

                              x = -2¼        Z wykresu paraboli skierowanej ramionami w górę

                                                   odczytujemy przedziały wartości dodatnich:

             x ∈ ( -∞, -2¼ ) U (0, ∞)

  

     b)      81x² ≥ 25

                81 x² - 25 ≥ 0

               (9x -5) (9x +5) ≥ 0

                 9x -5 = 0  ,      9x +5 =0

                  9x =5                9x = -5

                   x = ⁵/₉                 x = - ⁵/₉       Z wykresu paraboli skierowanej ramionami w górę

                                                                odczytujemy przedziały wartości nieujemnych:

               x∈ (-∞, -⁵/₉ > U < ⁵/₉ , ∞)

 

     c)   ½ (x-1)(x+1) ≥ 0

               x -1 =0   ,    x+1 =0

                x = 1            x = -1             Z wykresu paraboli skierowanej ramionami w górę

                                                          odczytujemy przedziały wartości nieujemnych:

                    x∈ (-∞, -1 > U < 1, ∞ )

5)     a)   f(x) = ½x² + 6x + 10

                Δ = b² -4ac = 36 -4·½ ·10 = 36 - 20 = 16,        √Δ = 4

              x₁ = (-6-4)/1 = -10,         x₂ = (-6+4)/1 = -2

            Postać iloczynowa:    f(x) = a(x-x₁)(x-x₂) =½ (x +10) (x +2)

 

         b)   f(x) = ⅔x² + 6x + 12

              Δ = 36 - 4·⅔·12 = 36 - 32 = 4,              √Δ = 2

               x₁ = (-6 -2)/ ⁴/₃ = -8·¾ = -6,      x₂ = (-6+2)/ ⁴/₃ = -4· ¾ = -3

              Postać iloczynowa:     f(x) = ⅔( x + 6) (x + 3).

 

        c) f(x) = -4x² + 40x - 36 = -4 (x² -10x +9)

                x² -10x +9 =0

                 Δ = 100 - 4·9 = 100 -36 = 64,       √Δ = 8

               x₁ = (10-8)/2 = 2/2 = 1,      x₂ = (10+8)/2= 18/2 = 9

            Postać iloczynowa:   f(x) = -4 (x - 1) ( x - 9)