Question

1. z cyfr 1234 utworzono wszystkie mozliwe liczby 4-cyfrowo o nie powtarzajacych sie cyfrach
a) uzasadnij ze kazda z tych liczb przy dzieleniu przez 9 daje reszte 1
b) wykorzystujac odp ceche podzielnosci uzasadnij ze zadna z tych liczb nie jest suma 3 innych sposrod tych liczb

Answer 1

A)
liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr wynosi 9
jeśli liczba czterocyfrowa składa się z cyfr 1,2,3,4, to suma cyfr takiej liczby wynosi 1+2+3+4=10. Gdyby taką liczbę zmniejszyć o 1, to suma jej cyfr by była równa 9 (czyli byłaby podzielna przez 9). Ale że nie zmniejszamy jej o 1, to przy dzieleniu przez 9 mamy resztę1

b)
Trzeba wykorzystać cechę podzielności przez 3:
Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr w zapisie dziesiętnym jest liczbą podzielną przez 3
Każda ze stworzonych liczb ma sumę cyfr równą 10
Więc suma cyfr trzech liczb o sumie cyfr 10 wynosi 3*10=30
Suma trzech liczb jest więc liczbą podzielną przez 3 (bo suma cyfr wynosi 30)
a jedna taka liczba ma sumę cyfr równą 10, więc się przez 3 nie dzieli

Podsumowując, liczba podzielna przez 3 nie może być równa liczbie niepodzielnej przez 3.