1. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązan.... Question from @KitoHoppe

January 2019 1 59 Report

1. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie $(m-1)x^4-(2m-3)x^2+m+1=0$ ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

2. Dla liczb $x_{1}$ i $x_{2}$ takich że $x_{1} \neq x_{2}$ , wyrażenie $f(x)=4m^2x^2-(2m+4)x+1$ przyjmuje wartość 0. Podaj wzór i dziedzinę $g(m)= \frac{1}{ x_{1} } + \frac{1}{x_{2}}$ . Wykaż, że ta funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie.

Peashooter 1.
niech x^2=a, zatem:
$(m-1)a^2-(2m-3)a+m+1=0 \\ delta=(2m-3)^2-4(m-1)(m+1)=4m^2-12m+9-4m^2+4= \\ =-12m+13 \\ dla m\ \textless \ \frac{13}{12} delta\ \textgreater \ 0$
dla *delty>0 , a1 i a2 (pierwiastki) będą różne -> x1,x2,x3,x4 też będą różne
(√a1 ≠ √a2)
teraz trzeba zadbać o to, żeby a1 i a2 były dodatnie (jeśli są ujemne, to nie ma x, a jeśli jeden jest równy 0, to wtedy x1=x2=a1=0, więc nie ma 4 różnych pierwiastków)
a1,a2 dodatnie <=> ich suma dodatnia i iloczyn dodatni
ze wzorów Viete'a:
$a_1+a_2 = \frac{2m-3}{m-1} \ \textgreater \ 0 \\ (2m-3)(m-1)\ \textgreater \ 0 \\ pierwiastki:1, \frac{3}{2}$
**m∈(-∞,1) U ( 3/2 , ∞)
$a_1*a_2= \frac{m+1}{m-1} \ \textgreater \ 0 \\ (m+1)(m-1)\ \textgreater \ 0$
***m∈(-∞,-1) U (1,∞)
łącząc * ** *** (iloczyn zbiorów) otrzymujemy:
m∈(-∞,-1)

2.
$4m^2x^2 - (2m+4)x+1=0 \\ delta=(2m+4)^2-16m^2=4m^2+16-16m-16m^2= \\= -12m^2-16m+16=-4(3m^2+4m-4)=-4*3(m- \frac{2}{3} )(m+2)$
dla m∈(-2, 2/3) delta jest dodatnia (nie chcemy delta=0, bo x1 ≠ x2)
zatem dziedzina g(m) : m∈(-2, 2/3)
korzystając ze wzorów Viete'a możemy policzyć sumę odwrotności:
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{- \frac{b}{a} }{ \frac{c}{a} } = \frac{-b}{c} = \frac{-(-2m+4)}{1} =2m+4$
g(m) = 2m + 4
ponieważ dziedzina g(m) to (-2, 2/3), to m>-2 -> g(m)=2m+4 > 2*(-2)+4 = 0
zatem g(m) przyjmuje wartości dodatnie