Question

1. Wyznacz: a) kwadrat sumy liczby x i odwrotności liczby x b) sumę kwadratów odwrotności liczby x i liczby x c) sześcian podwojonej liczby x i kwadratu odwrotności liczby byłoby super, gdyby ktoś jeszcze wytłumaczył, dlaczego i po co się to tak robi 2. wyznacz parametry w(x) = x3 + bx2 + c wiedząc, że w(1) = 8 i w(-1) = 2 3. dana jest funkcja kwadratowa f(x) = 3x2 + 12 - 1. Osią symetrii wykresu jest prosta: a) x = 2, b) x= -2, c) y = 2 d) y = -2 (logicznie, muszę to obliczyć) proszę o pomoc ;*

Answer 1

Zad. 1.

Nazwa wyrażenia algebraicznego oznacza nazwę ostatniego wykonywanego działania

W tego typu zadaniach trzeba znać również kolejność wykonywania działań:

- działania w nawiasach
- potęgowanie i pierwiastkowanie
- mnożenie i dzielenie
- dodawanie i odejmowanie

W podanych przykładach nazwę ostatniego działania zapisana jest podrubioną czcionką.

 

a)

kwadrat sumy liczby x i odwrotności liczby x

kwadrat, czyli na końcu obliczeń będziemy podnosili wynik do 2 potęgi, zatem pozostałe działanie musi być w nawiasie, a tym działaniem jest suma dwóch liczb: liczby x i jej odwrotności, czyli liczby 1/x z założeniem, że x ≠ 0 (bo iloczyn liczby i jej odwrotności musi być równy 1), stąd:

 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: (a + b)² = a² + 2ab + b² i otrzymujemy:

Wynik możemy zapisać również w innej postaci:

 

b)

suma kwadratów odwrotności liczby x i liczby x

suma, czyli na końcu będziemy dodawać kwadraty, czyli kwadrat odwrotności liczby x (1/x) i kwadrat liczby x, stąd:

Zatem:

 

c)

sześcian podwojonej liczby x i kwadratu odwrotności liczby

Zapis wyrażenia jest niepełny, bo nie wiadomo jekiej liczby kwadrat jej odwrotości należy uwzględnić - przyjmuję, że liczby x, czyli zapiszemy wyrażenie:

sześcian podwojonej liczby x i kwadratu odwrotności liczby x

sześcian, czyli na końcu obliczeń będziemy podnosili wynik do 3 potęgi, zatem pozostałe działanie musi być w nawiasie, a tym działaniem jest iloczyn, bo zapisując wyrażenie algebraiczne możemy pominąć znak mnożenia, jeżeli w iloczynie czynnikami są:

- dwie litery,

- liczba i litera, ale liczba musi poprzedzać literę,

- dwa wyrażenia w nawiasach,

- liczba lub litera i wyrażenie w nawiasach,

zatem w nawiasie będzie podwojona liczba x, czyli 2x oraz kwadrat, czyli podniesiona do 2 potęgi odwrotność liczby x, czyli liczba 1/x do kwadratu, stąd:

 

Zatem:

 

Zad. 2

Dany jest wielomian W(x) = x³ + bx² + c oraz wiemy, że W(1) = 8 i W(- 1) = 2

 

Zapis W(1) = 8 oznacza, że dla argumentu x równego 1 wartość wielomianu W(x) jest równa 8, więc otrzymujemy:

1³ + b·1² + c = 8

1 + b + c = 8

b + c = 8 - 1

b + c = 7

Zapis W(- 1) = 2 oznacza, że dla argumentu x równego - 1 wartość wielomianu W(x) jest równa 2, więc otrzymujemy:

(- 1)³ + b·(- 1)² + c = 2

- 1 + b + c = 2

b + c = 2 + 1

b + c = 3

Zatem otrzymaliśmy dwa równania, które muszą być spełnione jednocześnie, czyli tworzą układ równań:

{b + c = 7

{b + c = 3

jest to układ równań sprzecznych, bo suma dwóch liczb nie może być jednocześnie równa 7 i równa 3, a stąd wniosek, że nie istnieje wielomian postaci W(x) = x³ + bx² + c, dla którego W(1) = 8 i W(- 1) = 2.

 

Zad. 3.

Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = 3x² + 12 - 1. Osią symetrii wykresu jest prosta: a) x = 2, b) x = -2, c) y = 2 d) y = - 2

 

Osią symetrii paraboli, czyli wykresu funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c jest prosta przechodząca przez wierzchołek paraboli i prostopadła do osi OX, zatem jest to prosta o równaniu:

 

f(x) = 3x² + 12 - 1 = 3x² + 11

a = 3; b = 0, c = 11

Zatem wniosek, że żadna z podanych prostych nie jest osią symetrii wykresu funkcji

f(x) = 3x² + 12 - 1.

 

Prawdopodobnie przepisując treść zadania, błędnie został przepisany wzór funkcji i może chodzi o funkcję:

f(x) = 3x² + 12x - 1

a = 3; b = 12; c = - 1

, czyli

osią symetrii wykresu funkcji f(x) = 3x² + 12x - 1 jest prosta x = - 2

Odp. b

 

Answer 2

Rozwiązania z małymi komentarzami w załącznikach :)

w 3 zalaczniku poprawione zadanie 1 podpunkt b oraz c, przepraszam za pomylke