Question

1. Wykaż, że ciąg (an) jest rosnący.

a) (ułamek)

b) (ułamek)

2. Wykaż, że ciąg (an) jest malejący.

a) (ułamek)

b)

Answer 1

1a]

an=n²/2

a(n+1)=(n+1)² /2=[n²+2n+1)/2= n²/2+2n/2+1/2=n²/2+n+½

a(n+1)-an=n²/2+n+½-n²/2=n+½               n≥1               więc n+½>0   czyli ciąg jest rosnacy

b]

an=-2n/(n²+1)

a(n+1)=[-2(n+1)] / (n²+1)=[ -2n-2] / [ n²+1]= -2n/(n²+1)   -2/ (n²+1)

a(n+1)-an=-2n / (n²+1)  - 2/ (n²+1)  - [-2n / (n²+1)]=-2/ (n²+1)  ciąg jest rosnacy bo przy ujemnym liczniku i zawsze dodatnim mianowniku, kolejne wyrazy są wieksze:

a₁=-2/2=-1

a₂=-2/5

a₃=-2/10=-1/5

2a]

a(n+1)=4/(n+1+2)=4/(n+3)

a(n+1)-an=4 / (n+3)- 4/ (n+2)=[ 4 (n+2)-4(n+3)]/( n²+5n+6)= - 4n / (n²+5n +6)

mianownik >0 bo n≥1

licznik zawsze ujemny i jego wartośc maleje, czyli ciag jest malejacy

a₁=4/3

a₂=4/4=1

a₃=4/5

b]

a(n+1)=n+1-(n+1)²=n+1-n²-2n-1=-n²-n

a(n+1)-an=-n²-n-(n-n²)=-n²-n-n+n²=-2n ciąg jest malejacy bo dla n≥1  przy ujemnym całkowitym współczynniku równym (-2) kolejne wyrazy są coraz mniejsze

a₁=0

a₂=-2

a₃=-5

Answer 2

Rozwiązanie w załączniku