Question

1) Wśród podanych prostych znajdź pary prostych :

a) równoległych
k:x-y+7=0
n:3x-2y-7=0
b) prostopadłych
l:-x+y+11=0
p: -4x+6y-17=o

2) Czy trójkąt , ktorego wierzchołkami są punkty A,B,C , jest trójkątem prostokątnym?

a) A= (-2,2), B=(-6,2), C=(-6,-1)
b) A= (3,2) , B=(-5,-1), C=(-2,-8)
c) A=(5,1),B=(-4,4), C=(-6,-2)

Answer 1

A)
k:x-y+7=0
n:3x-2y-7=0
l:-x+y+11=0
p: -4x+6y-17=o

k: y=x+7
n: y=(-3x+7)/2
l: y=x-11
p: y=(4x+17)/6

y=ax+b

Proste są prostopadłe <=> a1*a2=-1
Proste są równoległe <=> a1=a2 ∧ b∈R

Równoległe są proste: k, l
Dowód:
1=1 ∧ b∈{7, -11}
Prostopadłe są proste: n, p
Dowód:
(4/6)*(-3/2)=-1
-1=-1

b)
Trzeba zastosować prostopadłość wektorów.
Dwa wektory są prostopadłe <=> x1x2 + y1y2 = 0

Podpunkt a)
→
AB=[-8, 0]
→
BC=[0,-3]
→
AC=[-4,-3]
Z warunku prostopadłości sprawdzamy wektory AB i BC:
-8*0 + 0*(-3) = 0
0=0
Trójkąt jest prostokątny.

Podpunkt b)
→
AB=[-8, -3]
→
BC=[3,7]
→
AC=[-5,-10]
Z warunku prostopadłości sprawdzamy wektory AB i BC:
-8*3 + -3*7 = 0
-24 -21 = 0
-45 nie równa się zero, wektory nie są prostopadłe.
Sprawdzamy wektory AB i AC:
-8*(-5) + -3*(-10) = 0
70 nie równa się zero, wektory nie są prostopadłe.
Trójkąt nie jest prostokątny.

Podpunkt c)
→
AB=[-9, -3]
→
BC=[-2,-6]
→
AC=[-11,-3]
Z warunku prostopadłości sprawdzamy wektory AB i BC:
-9*(-2) + -3*(-6) = 0
36 nie równa się zero, wektory nie są prostopadłe.
Sprawdzamy wektory AB i AC:
-9*(-11) + -3*(-3) = 0
108 nie równa się zero, wektory nie są prostopadłe.
Trójkąt nie jest prostokątny.