Question

1. Wśród dziewięciu kul osiem ma tę samą masę, jedna jest lżejsza. W dwóch ważeniach znajdź kulę lżejszą mając do dyspozycji wage szalkową.

2. Wśród dwunastu kul jedenaście ma tę samą masę, dwunasta inna. W trzech ważeniach znajdź inna kule mając do dyspozycji wage szalkową.

Proszę o szybką odpowiedz i dokładne rozwiązanie. Z góry dzieki.

Answer 1

1. Wśród dziewięciu kul osiem ma tę samą masę, jedna jest lżejsza. W dwóch ważeniach znajdź kulę lżejszą mając do dyspozycji wage szalkową.

 

kładziemy na wadze po 3 kule, a trzy pozostałe trzymamy w ręku, jeżeli jedna szalka jest lżejsza to bierzemy te trzy kule, a jeżeli równe to bierzemy trzy nieważone wczesniej i ważymy po jednej kuli, jedna może być lżejsza, jeżeli nadal są równe to lżejsza jest ta która pozostała w ręku.

 

2. Wśród dwunastu kul jedenaście ma tę samą masę, dwunasta inna. W trzech ważeniach znajdź inna kule mając do dyspozycji wage szalkową.

Opisany problem jest rozwiązany w książce 100 zadań Hugona Steinhausa.
Oznaczamy 12 kul literami: K, R, Y, P, T, O, N, I, M, D, W, A.
W pierwszym ważeniu porównujemy kule oznaczone M, Y, T, O  i  R, A, K, I.
W drugim: M, O, D, A  i  W, I, N, T.
W trzecim: W, Y, K, A  i  P, I, O, N.
I teraz oznaczając odpowiednio wynik ważenia przez /, \ lub = (w zależności, która szalka przeważyła), otrzymujemy, że fałszywą jest kula (pierwszy wynik oznacza, że fałszywa kula jest cięższa, drugi - że lżejsza od pozostałych):
K \=/, /=\
R \= =, /= =
Y /=/, \=\
P = =\, = =/
T /\=, \/=
O //\, \\/
N =\\, =//
I \\\, ///
M //=, \\=
D =/=, =\=
W =\/, =/\
A \//, /\\

W wyżej wypisanych zestawach brakuje układów: = = = (wówczas wszystkie kule są jednakowej wagi), oraz /\/ i \/\ (wówczas są co najmniej dwie kule fałszywe)