Question

1. Wiedząc, że

Oblicz:

a)

b)

2. Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych spełniających równanie:

xy + 3x - y = 4

Answer 1

z.2

xy +3x - y = 4

y(x -1) + 3x = 4

y(x-1) = 4 - 3x

y = [4 - 3x]/[x-1]

y = 4/[x -1] -  3x/[x-1]

4/[x -1] musi byc liczbą całkowitą, zatem x -1  musi być dzielnikiem

liczby 4

Mamy zatem następujące dzielniki 4:

-4,-2,-1,1,2,4

czyli

x-1 = -4 --> x = -3

y = 4/(-4) - [ 3*(-3)]/(-4) = -1 -9/4 = - 13/4  odpada - nie jest liczbą całkowitą

-----------

x-1 = -2  --> x = -1

y = 4/(-2) - [3*(-1)]/(-2) = -2 - 3/2 = - 7/2  odpada - jw.

------------------------

x-1 = -1  --> x = 0

y = 4/(-1) - [3*0]/(-1) = -4 + 0 = -4    - dobrze

---------------------------------------------------------

x-1 = 1  ---> x = 2

y = 4/1 - [3*2]/1 = 4 - 6 = -2       -  dobrze

----------------------------------------------------

x-1 = 2  --> x = 3

y = 4/2 - [3*3]/2 = 2 - 9/2 = 4/2 - 9/2 = - 5/2   - odpada

--------------------------------------------------------------------

x -1 = 4  --> x = 5

y = 4/4 - [3*5]/4 = 4/4 - 15/4 = - 11/4     - odpada

Odp. To równanie spełniają pary liczb: (0; -4) , (2 ; -2)

===================================================

z.1

a) a + 1/a = 3   / * a

a^2 + 1 = 3a

a^2 -3a + 1 = 0

delta = 9 -4*1*1 = 5

a = [3 -p(5)]/2     lub   a = [3 + p(5)]/2

p(5) <-- pierwiastek kwadratowt z 5

Obliczamy  teraz a^2

a^2 = [ 7 - 3p(5)]/2   lub    a^2 = [ 7 + 3p(5)]/2

Obliczamy teraz a^3

a^3 = a^2 *a = 9 - 4p(5)    lub   a^3  = 9 + 4p(5)

Obliczamy teraz 1/a^3

1/a^3 = 9 + 4p(5)   lub  1/a^3 = 9 - 4p(5)

zatem

a^3 + 1/a^3 = 9 -4p(5) + 9 + 4p(5) = 18

lub  a^3 + 1/a^3 = 9 + 4p(5) + 9 - 4p(5) = 18

Odp. a^3 + 1/a^3 = 18

======================

b)

a^2 = [7 - 3p(5)]/2  lub   a^2 = [7 + 3p(5)]/2

obliczamy a^4

a^4 = [7 +p(5)]/2  * [ 7 +3p(5)]/2 = ... = [47 -21p(5)]/2

lub

a^4 = [7 =p(5)]/2 * [7 +3p(5)]/2 = ... = [47 + 21p(5)]/2

obliczamy 1/a^4

1/a^4 = 2/[47 - 21p(5)] *{[47 + 21p(5)]/[47 + 21p(5)]} = ... = [47+21p(5)]/2

lub

1/a4 = 2/[47 + 21p(5)] *{[47 -21p(5)]/[47 - 21p(5)]} = ... = [47 - 21p(5)]/2

zatem

a^4 + 1/a^4 = [47 -21p(5)]/2 + [47 +21p(5)]/2 = 47

lub

a^4 + 1/a^4 = [47 + 21p(5)]/2 + [47 - 21p(5)]/2 = 47

Odp. a^4 + 1/a^4 = 47

===============================================