Question

1. W trójkąt równoramienny ABC, w którym AB=20cm, AC=BC=12,5cm wpisano prostokąt w taki sposób, że jeden bok zawiera się w podstawie trójkąta, a dwa pozostałe wierzchołki należą do ramion trójkąta. Wyznacz wymiary prostokąta o największym polu. 2. W trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych długości 6cm wpisano prostokąt tak, że jeden jego bok zawiera się w przeciwprostokątnej, a dwa pozostałe wierzchołki należą do ramion trójkąta. Wyznacz wymiary prostokąta o największym polu.

Answer 1

AB=20cm

CG=wysokośc opuszczona na AB

AG=GB=10cm

E,D=punkty przeciecia ramion AC i BC przez prostokąt

DE=bok prostoksta=a

h=drugi bok prostokata

wysokosc trójkąta ABC=√[12,5²-10²]=7,5cm

CH=wysokosc Δ DEC

z podobieństwa trójkątów:

DE/AB=CH/CG

a/20=(7,5-h)/7,5

7,5a=150-20h

a=(150-20h)/7,5

pole prostokąta=ah=(150-20h)/7,5   ×h=-2⅔h²+20h

 

masz funkcję kwadratową o współczynniku a<0, czyli najwieksza wartosc jest w wierzchołku paraboli (p;q),

p to będzie bok h

a q to max pole

p=-b/2a=-20/(-2×⁸/₃)=3,75=h

q=f(p)=-8/3  ×3,75²+20×3,75=-112,5/3  +7,5=37,5= max pole

a=(150-20×3,75)/7,5=10

 

wymiary prostokata:3,75 na 10