Question

1) W trójkącie równoramiennym o polu 48cm² stosunek długości ramienia do długości wysokości opuszczonej na podstawę jest równy 5:4. Oblicz:
a) obwód trójkąta
b) długości wysokości tego trójkąta
c) długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

2) W trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|, i miara kąta C=120m wpisano okrąg, którego promień ma długość 3cm. Oblicz długości boków trójkąta.

3) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 12cm i 5cm. Przez wierzchołek kąta prostego poprowadzono prostą, która podzieliła ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Oblicz stosunek długości promieni okręgów wpisanych w powstałe trójkąty.

Answer 1

Zad1)PΔ=48cm² ; a-dł. ramienia ; b-dł. podstawy ; h₁-dł. wys.opu-
szczonej na podstawę tj.b ; h₂--dł. wys. opuszczonej na ramię ;
a/h₁=5/4 ; 4a=5h₁ ; h₁=4/5a ;
h₁²+(b/2)²=a² ; (4/5a)²+b²/4=a² ; 16/25a²+b²/4=a² /×100 ;
64a²+25b²=100a² ; 64a²-100a²=-25b² ; -36a²=-25b²/:(-25) ;
b²=36/25a² ; b=6/5a ;
PΔ=1/2×b×h₁ ; 1/2×6/5a×4/5a=48 ; 24/50a²=48 /:24/50 ; a²=48×50/24 ; a²=100 ; a=10cm;
b=6/5×10cm=12cm ;
a) ObwΔ=2×10cm+12cm=32cm ; b) h₁=4/5a=4/5×10cm=8cm ; PΔ=1/2×a×h₂ ; 1/2×10×h₂=48 ;5h₂=48 ; h₂=9,6 cm;
b) Wysokości są równe: h₁=8cm ; h₂=9,6cm ;
c)D-spodek wysokości na ramię ; x-odległość punktu D o wierzchołka Δ ; h₂²+x²=b² ; (9,6)²+x²=12² ; 92,16+x²=144 ; x²=51,84
x=7,2cm ; <A=54°,1/2<B=36°; sin36°=r/2,8 ; r=sin36°×2,8
Zad2) IACI=IBCI ; <C=120°
<A=<B ; 180°-120°=60° ; 60°:2=30°=<A=<B;
tg60°=r/1/2IBCI ; √3=3/x ; x=√3cm ; IACI=IBCI=2√3cm ;
sin60°=1/2IABI/2√3 ; √3/2==1/2IABI/2√3;
IABI=6cm;