Question

1 W trapezie którego podstawy mają długość 10cm i 4cz miara kątów przy dłuższej podstawie wynoszą 45°i 30°oblicz pole i obwód tego trapezu

2 oblicz pole trapezu mając dane długości podstaw a b oraz długości ramion c i d jęśli a=15 b=9 c=d=5

3 Przekątne rombu mają długość 10 i 24 cm Oblicz długość boków i wysokość tego trapezu

4Pole rombu którego kąt rozwarty ma miarę trzy razy większą od miary kąta ostrego wynosi 16cm2 oblicz długość boku rombu oraz jego długość jego wysokości

5 W trójkącie równoramiennym o polu równym 48cm2 stosunek długości ramienia do wysokości opuszczonej na podstawę wynosi 5:4 oblicz obwód tego trójkąta

Answer 1

z.1

Mamy trapez ABCD.

Niech a = AB = 10 cm  oraz CD = b = 4 cm

Niech E oraz F będą takimi punktami odcinka AB, ze

DE = h oraz CF = h  <--- wysokośc danego trapezu.

Niech AE = x   oraz BF = y

Kąt EAD ma 45 stopni, a kąt FBC ma 30 stopni.

Mamy zatem

h/x = tg 45 st = 1, czyli x =  h

oraz  h/y = tg 30 st = p(3)/3

czyli x / y = p(3)/3 --> 3x = p(3)*y

x + b + y = 10

x+y + 4 = 10 ---> x + y = 6

Rozwiązujemy układ równań:

3x = p(3)* y

x + y = 6   --> y = 6 - x

-----------------------------

3x = p(3)*(6 -x)

3x = 6*p(3) - p(3)*x

3x + p(3) *x = 6*p(3)

x*(3 + p(3)) = 6*p(3)

x = 6*p(3)/(3 + p(3)) = [ 18 p(3) - 18]/[9 - 3] = 3*p(3) - 3

zatem  h = x = 3*p(3) - 3

oraz  y = 6 -x = 6 - [ 3*p(3) - 3] = 9 - 3*p(3)

Niech c = AD  oraz  d = BC

Mamy c = x*p(2) = [ 3 p(3) - 3]*p(2) = 3*p(6) - 3*p(2)

h/ d = sin 30 st = 1/2

d = 2*h = 2*[3*p(3) - 3] = 6*p(3) - 6

 

Pole trapezu  P = 0,5*[a +b]*h

P = 0,5*[10 + 4]cm *[3*p(3) - 3] cm = 7*[3*p(3) - 3]  cm^2

P = [ 21*p(3) - 21 ] cm^2

=====================

Obwód trapezu

L = a+b + c + d = [10 + 4 + 3*p(6) - 3*p(2) + 6*p(3) - 6 ] cm

L = [ 8 + 3*p(6)  + 6*p(3) - 3*p(2)] cm

====================================

z.2

a = AB = 15

b = CD = 9

c = AD = BC = 5

Jest to trapez równoramienny,

Na podstawie AB obieram takie punkty E oraz F , ze

ED = FC = h  oraz  AE = BF = x

x = [ a - b]/2 = [ 15 -9 ] :2 = 3

h^2 = c^2 - x^2 = 5^2 - 362 = 25 - 9 = 16

zatem   h = 4

Pole trapezu

P = 0,5*{a + b]*h = 0,5*[15 + 9]*4 = 12*4 = 48 j^2

============================================

Obwód trapezu L

L = a+b + 2*c = 15 + 9 + 2*4 = 32

============================================

z.3

e = 24

f = 10

a - długpść boku tego rombu

e, f  - długości przekątnych rombu

Mamy

a^2 = (e/2)^2 = (f/2)^2

a^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169

a = p(169) = 13

=================

Pole rombu P

P = 0,5*e*f = 0,5*24*10 = 120 j^2

ale pole rombu równa się też P = a*h --> h = P : a

h = 120 : 13 = 9  I   3/13

=========================

z.4

P = 16 cm^2

oraz  alfa + 3 alfa = 180 stopni

4 alfa = 180 stopni

alfa = 45 stopni

P = a*a* sin 45 stopni = a^2 *p(2)/2

zatem   a^2 * p(2)/2 = 16

a^2 = 16 *[2/p(2)] = 16*p(2)

a = 4* p 4st (2)

a = 4*p 4st(2) cm

======================

P = a*h  --->  h = P : a

h = 16 : 4*p 4st (2) = 4/p 4st(2)

h = 4/p 4st(2)  cm

===============================

z.5P = 48 cm^2

a - długość  podstawy trójkąta równoramiennego

b - długośc ramion

h - wysokość trójkąta

Mamy

b/h = 5/4  --> 4b = 5 h

b = (5/4)*h

==========

o,5*a*h = 48

a*h = 96

a = 96/ h ---> a/2 = 48/h

========

oraz  b^2 = (a/2)^2 + h^2

[(5/4)*h]^2 = [48/h]^2 + h^2

(25/16)*h^2 = 2304/ h^2 + h^2   /  * 16  h^2

25*h^4 = 2304*16 + 16 h^4

9*h^4 = 36 864  / : 9

h^4 = 4 096

h^2 = 64

h = 8

=====

a = 96/h = 96/8 = 12

====================

b = (5/4)*h = (5/4)*8 = 10

==========================

a = 12 cm  oraz  b = 10 cm

zatem  obwód  tego trójkąta

L = a = 2b = 12 cm +2*10 cm = 32 cm

===================================