Question

1. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym, wysokość ściany bocznej jest równa 6cm i tworzy z wyokością ostrosłupa kąt 30`. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

2. Podstawą ostrosłupa o wierzchołku S jest kwadrat ABCD. Krawędź AS jest prostopadła do podstawy. Krawędź CS jest równa 8cm i tworzy z przekątną AC kąt 45`. Oblicz objętość i sumę długości wszystkich krawedzi tego ostrosłupa.

_______

twierdzenie Talesa oraz sin i cos - nie wchodzą w grę.

Answer 1

1) tworzymy trójkąt o bokach 6, H, x

gdzie H-wysokośc ostrosłupa, x - odcinek łączący punkt styku wysokości ściany bocznej i podstawy ze spodkiem wysokości ostrosłupa

 

cos(30)=H/6

H=cos(30) *6 = 3* sqrt(3)

 

sin(30) = x/6

x=sin(30)*6 = 1/2*6 =3

 

podstawą jest trójkat równboczny więc x jest równe 1/3 wysokości tego trójkąta, więc wysokośc tego trójkąta =3*x = 3*3 = 9

 

ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

9 = a*sqrt(3) /2 gdzie a to krawędz podstawy

po przekształceniach a= 6*sqrt(3)

 

pole całkowite = Pp+Pb

Pp = a^2*sqrt(3) /4 = 27*sqrt(3)

Pb= 3* 1/2 *a*h= 3* 1/2 * 6*sqrt(3)*6 = 54*sqrt(3)

Pc = 81*sqrt(3)

 

2) z trójkąta ACS:(trójkąt równoramienny)

AS/8=sin45

AS= sin(45)*8= 4*sqrt(2)

przekątna AC =AS = 4*sqrt(2)

Ac przekątna podstawy(kwadratu), więc

a*sqrt(2)=4*sqrt(2) , gdzie a krawądz podstawy

a=4

 

krawędzie SB oraz Sd są równe i można je policzyć z tw pitagorasa:

SB^2=(4*sqrt(2))^2+4^2 = 48

SB= 4*sqrt(3) = SD

 

suma długości krawędzi: 4+4+4+4+ 4*sqrt(2) +4*sqrt(3) +4*sqrt(3) +8 = 24 +4*sqrt(2) + 8*sqrt(3)

objętość: V= 1/3 *Pp*H = 1/3 *4*4* 4*sqrt(2) = 30,17