Question

1. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 9 cm a krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz objętość tego ostrosłupa

2. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, jeżeli krawędź podstawy ma długość 10 dm, a wysokość ściany bocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni.

Answer 1

Zad 1
a - krawędź podstawy = 9 cm
h - wysokość podstawy = a√3/2 = 9√3/2 = 4,5√3 cm
R - promień okręgu opisanego na podstawie = 2/3 h = 2/3 * 4,5√3 = 2 * 1,5√3 =
= 3√3 cm
H - wysokość ostrosłup
H/R = tg60° = √3
H = R * √3 = 3√3 * √3 = 3 * 3 = 9 cm
Pp - pole podstawy = a²√3/4 = 9²√3/4 = 81√3/4 cm²
V - objętość = 1/3 * Pp * H = 1/3 * 81√3/4 * 9 = 243√3/4 cm³ = 60,75√3 cm³
zad 2
a - krawędź podstawy = 10 dm
h₁ - wysokość ściany bocznej
h - wysokość podstawy = a√3/2 = 10√3/2 dm
r - promień okręgu wpisanego w podstawę = 1/3 * h = 1/3 * 10√3/2 = 10√3/6 dm
r/h₁ = cos60° = 1/2
r = h₁ * 1/2
h₁ = r : 1/2 = r * 2 = 10√3/6 * 2 = 10√3/3 dm
Pp - pole podstawy = a²√3/4 = 10²√3/4 = 100√3/4 = 25√3 dm²
Pb - pole powierzchni bocznej = 3 * a * h₁/2 = 3 * 10 * 10√3/3 * 1/2 =
= 300√3/3 * 1/2 = 50√3 dm²
Pc - pole powierzchni całkowitej = Pp + Pb = 25√3 + 50√3 = 75√3 dm²
H - wysokość ostrosłupa
H/r = tg60° = √3
H = r * √3 = 10√3/6 * √3 = 10 * 3/6 = 30/6 = 5 dm
V - objętość ostrosłupa = 1/3 * Pp * H = 1/3 * 25√3 * 5 = 75√3/3 = 25√3 dm³