Question

1. Uzasadnij, że równanie 2x²+mx-3=0 ma rozwiązanie dla dowolnego m ∈ R.

2. Dana jest rodzina funkcji kwadratowych: y = -(x-m)²+2m

a) naszkicuj parabole dla m= -1 m=0 i m=2

b) podaj równanie prostej. do ktorej naleza wszystkie wierzcholki prabol tej rodziny

c) dla jakich wartosci parametru m rownanie -(x-m)² + 2m=0 ma dwa rozne pierwiastki dodatnie.

prosze o szybka pomo ;)

Answer 1

1. jeżeli ma rozwiązanie dla dowolnego m, to oznacza to, że funkcja ta bedzie miała jedno lub dwa rozwiązania niezależnie od tego parametru.

 

zatem liczymy delte (musi być ona wieksza lub rowna zero)

delta= b^2 - 4ac= m^2 - 4*2*(-3)*=m^2  + 24

jest to zawsze większe niż zero, zatem funkcja ta ma zawsze rozwiazanie

 

 

2.

a)dla m=-1

y=-(x+1)^2 -2 = -(x^2 + 2x + 1) -2 = -x^2 -2x - 3

jest to parabola z ramionami skierowanymi do dołu.

delta=4-4*3*1=-8 zatem nie ma miejsc zerowych

 

wierzchołek(p,q) mozna w tym przypadku wyliczyć bez liczenia, gdyz funkcja jest w postaci kanonicznej. y=a(x-p)^2 + q

u nas a=-1, p=m, q=2m

zatem w(m,2m), dla m=-1 w(-1,-2)

z tym powinnas bez problemu narysowac funkcje. tak jak sie rysuje zwykle funkcje x^2.

 

analogicznie dla m=2

 

 

b) wierzchołek ma współrzedne (m,2m) wiemy z poprzedniego podpunktu. pierwsza współrzędna to 'x', druga 'y'. Najłatwiej chyba podstawić pare wartości m i zobaczyc jak wyglada ta prosta.

 

mamy punkty np. (-1,-2), (0,0), (2,4), (3,6)
mozesz ulożyc układ równań i wyznaczyc równanie prostej albo narysować te punkty i zobaczyc, że spełnia je prosta: y=2x.

 

 

c)równanie ma dwa rózne pierwiastki dodatnie, gdy 1. delta jest wieksza niz 0, 2. pierwiastki sa dodatnie gdy ich iloczyn i suma sa dodatnei (liczymy z wzorów viete'a)

 

1.  -(x-m)^2 + 2m = 0

-x^2 + 2xm - m^2 + 2m=0

a= -1, b= 2m, c= -m^2 +2m

 

delta= 4*m^2 - 4m^2 + 8m=8m

czyli delta wieksza niz zero dla m>0

 

2. x1+x2= -b/a    >0

x1*x2= c/a     >0

 

-2m/-1>0 czyli m>0

m^2 - 2m>0

m(m-2)>0

 

czyli m<0 lub m>2

 

 

WNIOSEK:

biorac pod uwage wszystkie warunki z 1. i 2. otrzymujemy m>2.