Question

1. Uzasadnij, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6.
2. Uzasadnij, że iloczyn pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 120.

Answer 1

1)
n- dowolna liczba naturalna
n+1 - kolejna liczba naturalna
n+2 - następna

n*(n+1)*(n+2)

Mamy do czynienia z iloczynem 3 kolejnych liczb naturalnych. Skoro są to 3 kolejne liczby naturalne to wiemy, że przynajmniej jedna z nich będzie podzielna przez 2 oraz dokładnie jedna jest podzielna przez 3. Skoro liczba jest podzielna przez 2 i przez 3 to(2*3=6) jest ona podzielna także przez 6

2)
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)

Mamy do czynienia z iloczynem 5 kolejnych liczb naturalnych. Wśród tych liczb są przynajmniej 2 liczby parzyste z czego przynajmniej jedna dzieli się przez 2 i dokładnie jedna dzieli się przez 4. Dodatkowo mamy tutaj dokładnie jedną liczbę podzielną przez 5 oraz dokładnie jedną liczbę podzielną przez 3.

2*4*5*3=120

Zatem liczba ta dzieli się przez 120