Question

1. Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba jest podzielna przez 3.

2. Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba jest podzielna przez 4.

Answer 1

z.1

n = 1 , 10^1 - 1 = 9  - jest podzielna przez 3

Zakładam,że liczba 10^n - 1  jest podzielna przez 3 , czyli  10^n - 1 = 3*k

czyli  10^n = 3*k + 1

Korzystając  z tego założenia udowodnię, że liczba  10^(n+1) - 1 jest

podzielna przez 3

Mamy

10^(n+1) - 1 = 10*10^n - 1 = 10*[ 3*k + 1] - 1 = 3*10*k + 10 - 1 =

 = 3*10*k + 9 = 3*[ 10*k + 3 ]   - jest to liczba podzielna przez 3

Na podstawie indukcji matwmatycznej stwierdzamy. że liczba

10^n - 1  jest podzielna przez 3 dla dowolnej liczby naturalnej n.

z.2

n = 1

10^1 - 8  = 10 - 8 = 2

2 nie jest podzielne przez 4.

Zatem to twierdzenie nie jest prawdziwe.

=======================================

Prawdziwe jest to twierdzenie dla n > 1

Mamy

n = 2

10^2 - 8 = 100 - 8 = 92 = 23*4

Zakładam, że liczba  10^n - 8 jest podzielna przez 4, czyli

10^n - 8 = 4*k , gdzie k - liczba naturalna

zatem  10^n = 4*k + 8

Korzytając z tego założenia udowodnię, ze liczba 10^(n+1) - 8  jest

podzielna przez  4

Mamy

10^(n+1) - 8 = 10*10^n - 8 = 10*[ 4*k + 8] -8 = 4*10*k +80 - 8 =

= 4*10*k + 72 = 4*10*k +4*18 = 4*[ 10*k + 18 ]  - liczba podzielna przez 4

Na podstawie indukcji matematycznej stwierdzamy,że liczba

10^n -  8 jest podzielna przez  4  dla dowolnej liczby naturalnej > 1.

Answer 2

mamy wykazać  dla dowolnego n należącego do naturalnych istnieje k należące do całkowitych prawdziwa jest równość  

10^n -1=3k

1. sprawdzam czy dla n=1 (nie wiem jaką macie umowę czy zero jest naturalne? jeśli tak to sprawdź dla zera) istnieje takie k aby równość była prawdziwa:

L=10^1 - 1=9

P=3k

czyli dla k=3 równość jest prawdziwa

2. założenie indukcyjne:

załóżmy że dla dowolnego n>1 istnieje takie k że prawdziwa jest równość

10^n -1=3k, inaczej 10^n=3k+1

3. Teza indukcyjna: dla dowolnego n>1 istnieje takie l całkowite, że prawdziwa jest równość:

10^(n+1) -1=3l

3. Dowód indukcyjny:(nad trzecią równośćią należy napisać: z założenia indukcyjnego)

L=10^(n+1) -1=10*10^n -1=10*(3k+1)-1=30k+9=3(10k+3)

zatem  l=10k+3, bo k jest całkowite więc 10k również i 10k+3 też

Na mocy indukcji matematycznej prawdziwa jest równość.

 

Zadanie 2.

mamy wykazać  dla dowolnego n należącego do naturalnych istnieje k należące do całkowitych prawdziwa jest równość     

10^n -8=4k

1. sprawdzam czy dla n=1 (nie wiem jaką macie umowę czy zero jest naturalne? jeśli tak to sprawdź dla zera) istnieje takie k aby równość była prawdziwa:

L=10^1 - 8=2

P=4k

nie prawda

czyli sprawdzamy dla n=2

L=10^2 - 8=92

P=4k

czyli dla k=23 równość jest prawdziwa

2. założenie indukcyjne:

załóżmy że dla dowolnego n>2 istnieje takie k że prawdziwa jest równość

10^n -8=4k, inaczej 10^n=4k+8

3. Teza indukcyjna: dla dowolnego n>2 istnieje takie l całkowite, że prawdziwa jest równość:

10^(n+1) -8=4l

3. Dowód indukcyjny:(nad trzecią równośćią należy napisać: z założenia indukcyjnego)

L=10^(n+1) -8=10*10^n -8=10*(4k+8)-8=40k+72=4(10k+18)

zatem  l=10k+18, bo k jest całkowite więc 10k również i 10k+18 też

Na mocy indukcji matematycznej prawdziwa jest równość dla dowolnego n>1