Question

1. Udowodnij że n! < n^n dla n >= 2.

Answer 1

Oczywiście dla n=2 mamy prawdziwą nierówność 2! < 2^2.  Indukcyjnie zrobimy to. mamy założenie k! < k^k.   Teraz udowadniamy tezę indukcyjną na podstawie założenia. Jest nią:



To zaczynamy!



I to już koniec dowodu...... :)  bo z niego wynika, że tym bardziej zajdzie
(k+1)! < (k+1)^(k+1) 

ostatnia nierówność wynika stąd, że dla k>=2 zachodzi  k^k < (k+1)^k  (podstawa potęgi jest większa po prawej stronie)