Question

1. Rozwiąż równanie:
|x| + |x-1| = x + |x-3|

2. Rozwiąż układ równań
[ x - |y-4| = 4
[ |x-3| + |y-4| = 3

3. Rozwiąż nierówność

|x| + 2x > 2

Answer 1

1.

|x| + |x - 1| = x + |x - 3|

Wyznaczamy przedziały w jakich będziemy rozwiązywać równanie, czyli wyrażenia

znajdujące się pod wartością bezwzględną przyrównujemy do zera:

x = 0

x - 1 = 0 ⇒ x = 1

x - 3 = 0 ⇒ x = 3

Równanie będziemy rozwiązywać w przedziałach: (- ∞; 0), <0; 1), <1; 3), <3; + ∞)

 

1° x ∈ (- ∞; 0) w tym przedziale równanie przyjmuje postać:

- x - x + 1 = x - x + 3

- 2x + 1 = 3

- 2x = 3 - 1

- 2x = 2 /:(- 2)

x = - 1 ∈ (- ∞; 0)

 

2° x ∈ <0; 1) w tym przedziale równanie przyjmuje postać:

x - x + 1 = x - x + 3

1 = 3

sprzeczność, x ∈ Ф

 

3° x ∈ <1; 3) w tym przedziale równanie przyjmuje postać:

x + x - 1 = x - x + 3

2x - 1 = 3

2x = 3 + 1

2x = 4 /:2

x = 2 ∈ <1; 3)

 

4° x ∈ <3; + ∞) w tym przedziale równanie przyjmuje postać:

x + x - 1 = x + x - 3

2x - 1 = 2x - 3

2x - 2x = - 3 + 1

0 = - 2

sprzeczność, x ∈ Ф

 

Ostateczne rozwiązaniem są liczby: x = {- 1; 2}

 

Odp. x = - 1 lub x = 2

 

2.

{x - |y - 4| = 4
{|x - 3| + |y - 4| = 3

 

{- |y - 4| = - x + 4 /·(- 1)
{|x - 3| + |y - 4| = 3

 

{|y - 4| = x - 4
{|x - 3| + |y - 4| = 3

 

{|y - 4| = x - 4
{|x - 3| + x - 4 = 3

 

{|y - 4| = x - 4
{|x - 3| = 3 - x + 4

 

{|y - 4| = x - 4
{|x - 3| = - x + 7

 

Rozwiążemy 2 równanie układu:

|x - 3| = - x + 7

[x - 3 = - x + 7 lub x - 3 = -(- x + 7)] i - x + 7 ≥ 0

 

x - 3 = - x + 7

x + x = 7 + 3

2x = 10 /:2

x = 5

 

x - 3 = -(- x + 7)

x - 3 = x - 7

x - x = - 7 + 3

0 = - 4

sprzeczność, x ∈ Ф

 

Stąd: x ∈ {5} u Ф = {5}

 

- x + 7 ≥ 0

- x ≥ - 7 /·(- 1)

x ≤ 7

x ∈ (- ∞; 7>

 

Zatem: x ∈ {5} n (- ∞; 7> = {5}, czyli x = 5

 

{|y - 4| = x - 4
{x = 5

 

{|y - 4| = 5 - 4
{x = 5

 

{|y - 4| = 1
{x = 5

 

Rozwiążemy 1 równanie układu:

|y - 4| = 1

y - 4 = 1 lub y - 4 = - 1

 

y = 1 + 4

y = 5

 

y - 4 = - 1

y = - 1 + 4

y = 3

 

Stąd: y ∈ {3; 5}, czyli y = 3 lub y = 5

 

Zatem:

 

Odp. x = 5 i y = 3 lub x = 5 i y = 5

 

3.

|x| + 2x > 2

|x| > - 2x + 2

x > - 2x + 2 lub x < - (- 2x + 2)

 

x > - 2x + 2

x + 2x > 2

3x > 2 /:3

x > ⅔

x ∈ (⅔; + ∞)

 

x < - (- 2x + 2)

x < 2x - 2

x - 2x < - 2

- x < - 2 /·(- 1)

x > 2

x ∈ (2; + ∞)

 

Zatem:

x ∈ (⅔; + ∞) u (2; + ∞) = (⅔; + ∞)

 

Odp. x ∈ (⅔; + ∞)