Question

1. Rozwiąż nierówność |x+2|+|3x-9|>23.

2. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x²-mx+1=0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂ takie, że x₁³+x₂³>m²+m-4.

3. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których wykres wielomianu W(x)=x⁵-2x⁴-2mx³+4mx²+m²x-2m² ma dokładnie dwa punkty wspólne z osią Ox.

4. Wykaż, że dla każdych dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c, d prawdziwa jest nierówność √(a+c)(b+d)≥√ab+√cd.

5. Rozwiąż równanie cos2x+√3·sin2x=cos²x-7sin²x.

Zadania są rozszerzone, licze na to, że ktoś ogarnięty będzie w stanie to zrobić!

Answer 1

zad.1

Rozważymy trzy przypadki:

1)

x należy do przedziału (-niekończoność; -2> to równanie wyjściowe ma postać:

-(x+2) - (3x-9)>23

-x-2-3x+9>23 

-4x>16

x<-4 i równocześnie x należy do przedziału (-niekończoność; -2> czyli x należy do przedziału (-niekończoność; -4)

 

2)

x należy do przedziału(-2; 3> to równanie wyjściowe ma postać:

(x+2) - (3x-9)>23

x+2-3x+9>23

-2x>12

x<-6 i równocześnie x należy do przedziału<-2;3> czyli x należy do zbioru pustego

 

3)

x należy do przedziału <3;nieskończoność) to równanie wyjściowe ma postać:

(x+2) + (3x-9)>23

x+2+3x-9>23

4x>30

x>7,5 i równocześnie x należy do przedziału <3;nieskończoność) czyli x należy do przedziału (7,5;nieskończoność)

 

Rozwiązanie całego zadania: x należy do sumy przedziałów(-nieskończoność; -4) i (7,5;nieskończoność)

 

zad.2                

x1^3 + x2^3 = (x1 +x2)^3 - 3 x2 x1^2 - 3x1 x2^3 = (x1 +x2)^3 - 3x1 x2 (x1+x2) =

                   = (-b/a)^3 - 3(c/a)(-b/a)

w zadaniu a=1, b=-m, c=1 czyli

x1^3 + x2^3 = m^3 -3m

Korzystalam z wzorów Vieta: x1+x2 = =b/a

                                           x1 x2 = c/a

układ równań:

delta >0  oraz m^3 -3m>m^2+m-4

delta = m^2-4

m^2-4>0 czyli m nalezy do przedziału (-nieskończoność; -2) i (2; nieskończoność)

 

m^3 -m^2-3m-m+4>0

m^3 - m^2 -4m + 4>0

m^2(m-1)- 4 (m-1)>0

(m^2 - 4) (m-1) >0

(m-2)(m+2)(m-1)>0

m należy do sumy przedziałów (-2;1) i (2, nieskończoność)

 

Rozwiązanie całego zadania: m nalezy do przedziału (2, nieskończoność)