1. Queremos construir un teleférico desde el valle a la cima de una montaña. La casa del valle está a 100 m. de la base de la montaña, esta tiene 200 m de altura. ¿Qué longitud de cable necesitamos para construir el teleférico? 2. Un barco ha encallado en unas rocas a 50 m de la costa. El acantilado tiene 15 m. de altura. ¿Cuál debe ser la longitud del cabo que debemos lanzar? 3. En una acera de una calle hay un edificio de 12 m. de altura. Enfrente hay un edificio de 15 m. de altura. Si la calle tiene 8m de ancho y queremos construir una pasarela entre las terrazas del edificio. ¿Qué longitud tendrá la pasarela? 4. La diagonal de un rectángulo mide 10 cm. y uno de sus lados, 6 cm. Calcula el perímetro del rectángulo. 5. Para afianzar una antena de 24 m. de altura se van a tender, desde su extremo superior, cuatro tirantes que se amarrarán, en tierra, a 10 m. del punto de amarre. ¿Cuántos metros de cable se necesitan para los tirantes? 6. Un globo cautivo está sujeto al suelo por una cuerda. Ayer, que no hacía viento, el globo estaba a 50 m. de altura. Hoy hace viento, y la vertical del globo se ha alejado 30 m. del punto de amarre. ¿A qué altura está hoy el globo?
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Problemas de Triángulos Rectángulos y el Teorema de Pitágoras.
1. Queremos construir un teleférico desde el valle a la cima de una montaña. La casa del valle está a 100 m. de la base de la montaña, esta tiene 200 m de altura. ¿Qué longitud de cable necesitamos para construir el teleférico?
Se forma un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es la longitud del cable.
C² = (100 m)² + (200 m)²
C² = 10.000 m² + 40.000 m² = 50.000 m²
C² = 50.000 m²
Se despeja C.
C = √50.000 m² = 223,61 m
C = 223,61 m
La longitud del cable del teleférico es de 223,61 metros.
2. Un barco ha encallado en unas rocas a 50 m de la costa. El acantilado tiene 15 m. de altura. ¿Cuál debe ser la longitud del cabo que debemos lanzar?
Entre la base de acantilado y las rocas donde encalló el barco se forma un ángulo recto y la distancia desde el tope de acantilado hasta el barco representa la hipotenusa de ese triángulo rectángulo que a su vez es la longitud del cabo a lanzar.
C² = (15 m)² + (50 m)²
C² = 255 m² + 2500 m² = 2.725 m²
C² = 2.725 m²
Se despeja C.
C = √2.725 m² = 52,20 m
C = 52,20 m
El cabo de cuerda a lanzar debe ser de al menos 52,20 metros.
3. En una acera de una calle hay un edificio de 12 m. de altura. Enfrente hay un edificio de 15 m. de altura. Si la calle tiene 8m de ancho y queremos construir una pasarela entre las terrazas del edificio. ¿Qué longitud tendrá la pasarela?
Como las terrazas de los edificios tienen un desnivel de 3 metros en la altura y la base es de 8 metros, luego la pasarela será la hipotenusa de ese triángulo rectángulo.
P² = (3 m)² + (8 m)²
P² = 9 m² + 68 m² = 73 m²
P² = 73 m²
Se despeja P.
P = √73 m² = 8,54 m
P = 8,54 m
La longitud de la Pasarela es de 8,54 metros.
4. La diagonal de un rectángulo mide 10 cm. y uno de sus lados, 6 cm. Calcula el perímetro del rectángulo.
Se aplica el Teorema de Pitágoras para hallar la longitud del lado faltante y luego el perímetro.
(10 cm)² = (6 cm)² + ℓ²
Entonces:
ℓ² = (10 cm)² - (6 cm)² = 100 cm² – 36 cm² = 64 cm²
ℓ² = 64 cm²
Se despeja.
ℓ = √64 cm² = 8 cm
ℓ = 8 cm
El Perímetro (P) es la suma de las longitudes de los lados.
P = 10 cm + 6 cm + 8 cm = 24 cm
P = 24 cm
5. Para afianzar una antena de 24 m. de altura se van a tender, desde su extremo superior, cuatro tirantes que se amarrarán, en tierra, a 10 m. del punto de amarre. ¿Cuántos metros de cable se necesitan para los tirantes?
La antena está en posición vertical y los tirantes están en diagonal desde el tope hasta el punto de anclaje en el suelo y forman un triángulo rectángulo donde cada tirante representa la hipotenusa.
h² = (24 m)² + (10 m)²
h² = 576 m² + 100 m² = 676 m2
h² = 676 m²
Despejando h.
h = √676 m² = 26 m
h = 26 m
La longitud de cada tirante es de 26 metros; pero como son cuatro (4), entonces:
T = 4 x 26 m = 104 m
T = 104 metros
Se necesitan 104 metros de cable para los tirantes.
6. Un globo cautivo está sujeto al suelo por una cuerda. Ayer, que no hacía viento, el globo estaba a 50 m. de altura. Hoy hace viento, y la vertical del globo se ha alejado 30 m. del punto de amarre. ¿A qué altura está hoy el globo?
Se aplica el Teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa que el desplazamiento que experimento el globo que permanece a 50 metros de altura.
D2 = (50 m)² + (30 m)²
D2 = 2.500 m² + 900 m² = 3.400 m²
D2 = 3.400 m²
Despejando D.
D = √3.400 m² = 58,31 m
D = 58,31 m