Question

1. Punkty A, B, C, D należą do okręgu o środku w punkcie O, jak na rysunku poniżej. Odcinek AC jest średnicą okręgu i ma długość 10 cm, natomiast cięciwa BD ma długość 6 cm. Wiedząc, że |<AOB| = 80° oraz |<DCA |= 70°, oblicz połę czworokąta ABCD.

Answer 1

|AC| = 10 cm
|BD| = 6 cm
|∢AOB| = 80°
|∢DCA |= 70°

AC i BD to przekątne czworokąta ABCD, zatem skorzystamy ze wzoru na pole czworokąta o danych przekątnych i kącie między nimi:
Jeśli d₁ i d₂ to przekątne czworokąta i α to kąt między tymi przekątnymi, to pole czworokąta jest równe:


Zatem musimy obliczyć miarę kąta AEB ( punkt E to punkt przecięcia przekątnych AC i BD)

∢BOC to kąt przyległy do ∢AOB, zatem:
|∢BOC| = 180° - |∢AOB|
|∢BOC| = 180° - 80°
|∢BOC| = 100°

∢BDC to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co ∢BOC, zatem:
|∢BDC| = ½ · |∢BOC|
|∢BDC| = ½ · 100°
|∢BDC| = 50°

ΔCDE
|∢CED| + |∢EDC| + |∢DCE| = 180°
|∢CED| + 50° + 70° = 180°
|∢CED| + 120° = 180°
|∢CED| = 180° - 120°
|∢CED| = 60°

∢AEB i ∢CED to kąty wierzchołkowe, więc ich miary są równe, zatem:
|∢AEB| = |∢CED| = 60°

Stąd:


Odp. Pole czworokąta ABCD wynosi .